La ecuación se puede escribir como ( x + y ) ² – 3xy = 1009 o ( x – y ) ² + xy = 1009, utilizando estas ecuaciones podemos eliminar el término xy y obtener esta ecuación
3 ( x – y ) ² + ( x + y ) ² = 4036
Como x e y son naturales, x – y <( x + y ), supongamos que x – y = a y x + y = b , donde a <b y a ≤ 31.
3 a ² + b ² = 4036 …………… (1)
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Usando el módulo 7, 3 a ² ≡ r (mod 7), donde r = 0, 3, 5, 6 y b ² ≡ r (mod 7), donde r = 0, 1, 2, 4. Desde 4036 ≡ 4 ( mod 7), entonces a puede ser del tipo 7 k o 7 k ± 1.
Del mismo modo, utilizando el módulo 5, podemos concluir que a = 5 k o 5 k ± 2.
Por lo tanto, los valores posibles de ‘ a ‘ son 7, 8, 13, 14, 15, 20, 22, 27, 28. De los cuales solo a = 8 y 27 dan soluciones naturales para b .
( a , b ) = (8, 62), (27, 43)
o ( x , y ) = (35, 27), (35, 8), (27, 35), (8, 35)