Cómo integrar dx / x [6 (logx) ^ 2 + 7logx + 2]

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {1} {x (6 \ ln ^ 2 (x) + 7 \ ln (x) + 2)} \, dx [/ math]

Supongamos que [math] \ displaystyle \ ln (x) = y [/ math]

[matemática] \ displaystyle \ implica \ dfrac {1} {x} \, dx = dy [/ math]

Ahora sustituyendo los valores anteriores en [matemáticas] I [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {1} {6 y ^ 2 + 7 y + 2} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {6 y ^ 2 + 4 y + 3y + 2} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {2y (3 y + 2) + 3y + 2} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {(2y + 1) (3 y + 2)} \, dy [/ math]

Usemos la técnica de descomposición de fracción parcial

Asumamos

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {(2y + 1) (3 y + 2)} = \ dfrac {A} {2y + 1} + \ dfrac {B} {3 y + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica A (3 y + 2) + B (2y + 1) = 1 [/ matemáticas]

En [math] \ displaystyle y = \ dfrac {-1} {2} [/ math], la ecuación anterior se convierte en,

[matemáticas] \ displaystyle A (\ dfrac {-3} {2} + 2) + B (\ dfrac {-2} {2} + 1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {A} {2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica A = 2 [/ matemáticas]

De manera similar en [math] \ displaystyle y = \ dfrac {-2} {3} [/ math], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle B = -3 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {2} {2y + 1} \, dy – \ int \ dfrac {3} {3 y + 2} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {2y + 1} \, d (2y + 1) – \ int \ dfrac {1} {3 y + 2} \, d (3 y + 2) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ ln (2y + 1) – \ ln (3 y + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ ln (\ dfrac {2y + 1} {3 y + 2}) [/ matemáticas]

Sustituyendo [math] \ ln (x) [/ math] por [math] y [/ math], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ bbox [#AFA] {I = \ ln \ bigg (\ dfrac {2 \ ln (x) + 1} {3 \ ln (x) + 2} \ bigg)} [/ math]

Answer 2

Fácil pero la solución es bastante larga, primero asuma logx como t y por diferenciación dt es igual a dx / x … Entonces la ecuación se convierte en

Integración de dt / (6 (t ^ 2) + 7t + 2) … Ahora podemos resolver esta ecuación obtenida anteriormente trabajando en el denominador generalmente reduciéndolo a una de las fórmulas de integración general … y luego colocamos log x en lugar de t

Gracias

Answer 3

Sustituya log x = t, luego diferenciando ambos lados obtenemos dx / x = dt ahora los cambios integrales a dt / (6t ^ 2 + 7t + 2)

Ahora resuelve esto completando el cuadrado en el denominador.