¿Cuál es la mejor manera de probar un número par para averiguar si es primo?
¿Es 64 ^ 51 un número primo?
Bueno, la respuesta fácil es que todos los números pares más grandes que [math] 2 [/ math] no son números primos. Prueba: por definición, todos tienen [matemática] 2 [/ matemática] como factor (primo) y por lo tanto no pueden ser primos.
Ahora [matemáticas] 64 ^ {51} = \ izquierda (2 ^ 6 \ derecha) ^ {51} = 2 ^ {6 \ veces 51} = 2 ^ {306} [/ matemáticas]
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Entonces la pregunta si [math] 2 ^ {306} \ pm 1 [/ math] es prime es más legítima. (Los primos de estas formas tienen nombres especiales [matemática] 2 ^ n + 1 [/ matemática] es un primo de Fermat [1] y [matemática] 2 ^ n-1 [/ matemática] es un número primo de Mersenne [2], I mencionar este hecho porque encontrará pruebas primarias para estos números más rápido que para los números generales). Pero incluso aquí hay una respuesta para hacer esto rápido:
para que [math] 2 ^ {p} -1 [/ math] sea primo, que [math] p [/ math] también debe ser primo. [3]
para
[math] 2 ^ {t} +1 [/ math] debe ser primo, que [math] t [/ math] debe tener la forma [math] 2 ^ n [/ math]. [4]
Y dado que [matemáticas] 306 [/ matemáticas] no es ni primo ni un poder de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] ni [matemáticas] 2 ^ {306} -1 [/ matemáticas] ni [matemáticas] 2 ^ {306} + 1 [/ math] es primo.
Ahora hay muchas formas de probar si un número es primo, si no lo sabe [5] [6] y también muchas herramientas de prueba primas en línea [7] (verifique especialmente la lista cada vez mayor de números primos conocidos [8]) y hay otras cosas que puede hacer (para números pequeños ([matemática] 6 [/ matemática] o menos dígitos)) antes de encender una computadora. Revisa esta lista de verificación:
- si el número no es [matemática] 2 [/ matemática] o [matemática] 5 [/ matemática] (primos conocidos) es el dígito de las unidades [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática], [ matemática] 7 [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática] – si la respuesta es no, usted está mirando un número par o un múltiplo de [matemática] 5 [/ matemática] pero no un primo.
- ¿Es el número [math] \ pm 1 [/ math] un múltiplo de [math] 6 [/ math] si no es probable que no sea primo? [9]
- ¿Es la suma de dígitos un múltiplo de [matemática] 3 [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática] si es así, el número en sí también lo es [10]
- ejecutar una serie de otras pruebas de divisibilidad. [11]
Pero una gran parte de la seguridad informática se basa en el hecho de que no es fácil decir (incluso para profesionales con Super-Computadoras sofisticadas) si un gran número es primo o no. [12]
Editar: también consulte las respuestas a su fuente.
Notas al pie
[1] Fermat Prime – de Wolfram MathWorld
[2] Mersenne prime – Wikipedia
[3] Si $ 2 ^ n – 1 $ es primo de algún entero $ n $, demuestre que n también debe ser primo.
[4] Probar si primo puede escribirse como $ 2 ^ n + 1 $, $ n = 2 ^ k $
[5] ¿Cuál es el mejor algoritmo para verificar si un número es primo?
[6] Prueba de primalidad – Wikipedia
[7] pruebas principales en línea – Búsqueda de Google
[8] Los primeros cincuenta millones de primos
[9] Demuestre que cada primo $ p> 3 $ tiene la forma $ 6n + 1 $ o la forma $ 6n + 5 $
[10] Divisibilidad por 3 y 9
[11] Regla de divisibilidad 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
[12] Prime Numbers y Pierre Fermat mantienen tus secretos seguros en línea