Resolvería esto como 5 cuentas diferentes sumadas juntas. El recuento de números enteros que puede hacer con los 5s, el recuento que puede hacer con 4 5s y 1 de los otros 4 números, el recuento que puede hacer con 3 5s y 2 de los otros 4 números, etc.
Solo hay 1 forma de hacerlo con los 5.
Para que haya 4 5s, primero elegiré cuál de los 5 dígitos NO es 5. Hay [matemáticas] \ binom {5} {1} [/ matemáticas] formas de hacerlo. Luego, multiplico por la cantidad de formas de ordenar ese dígito que no es 5. Hay [matemáticas] _4P_1 [/ matemáticas] formas de hacerlo. Por lo tanto, el número de formas es [matemáticas] \ binom {5} {1} \ cdot {} _4P_1 = 5 \ cdot 4 = 20 [/ matemáticas]
Para que haya 3 5s, primero elegiré cuál de los 5 dígitos NO son 5. Hay [matemáticas] \ binom {5} {2} [/ matemáticas] formas de hacerlo. Luego multiplico por la cantidad de formas de ordenar esos 2 dígitos que no son 5. Hay [matemática] _4P_2 [/ matemática] formas de hacerlo. Por lo tanto, el número de formas es [matemáticas] \ binom {5} {2} \ cdot {} _4P_2 = 10 \ cdot 12 = 120 [/ matemáticas]
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Para que haya 2 5s, primero elegiré cuál de los 5 dígitos son 5. Hay [matemáticas] \ binom {5} {2} [/ matemáticas] formas de hacerlo. Luego multiplico por la cantidad de formas de ordenar los 3 dígitos que no son 5. Hay [matemáticas] _4P_3 [/ matemáticas] formas de hacerlo. Por lo tanto, el número de formas es [matemáticas] \ binom {5} {2} \ cdot {} _4P_3 = 10 \ cdot 24 = 240 [/ matemáticas]
Para que haya 1 5, eso significa que los 5 números están presentes. Por lo tanto, ¡la cantidad de formas es solo [matemáticas] 5! = 120 [/ matemáticas]. Alternativamente, usando el método que usé para los otros recuentos: elijo qué dígito es el 5. Hay [matemáticas] \ binom {5} {1} [/ matemáticas] formas de hacerlo. Luego multiplico por la cantidad de formas de ordenar los 4 dígitos que no son 5. Hay [matemáticas] _4P_4 [/ matemáticas] formas de hacerlo. Por lo tanto, la cantidad de formas es [matemática] \ binom {5} {1} \ cdot {} _4P_4 = 5 \ cdot 24 = 120 [/ matemática], observe que esto coincide, lo cual es una buena señal para los otros cálculos.
Finalmente sumamos los recuentos.
[matemáticas] 1 + 20 + 120 + 240 + 120 = 501 [/ matemáticas]
Por lo tanto, hay 501 enteros positivos que se pueden hacer que cumplan esas condiciones.
Esto podría haberse escrito de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ 5 \ dbinom {5} {i} \ cdot {} _4P_ {5-i} [/ matemáticas]
Me pareció interesante que el recuento de 1 5 fuera el mismo que el recuento de 3 5s, me hizo pensar que podría haber habido otra forma de calcular esto con una función que es simétrica, pero no pude pensar en una.