Podemos encontrar la suma de los cuadrados de los primeros n enteros positivos usando la función de generación – Wikipedia
Comenzamos con la función generadora ordinaria que representa la secuencia de (1,1,1,1….).
[matemáticas] \ langle 1, 1, 1,… \ rangle \ longleftrightarrow 1 + x ^ {2} + x ^ {3} +… = \ dfrac {1} {(1-x)} [/ math]
Ahora diferencie ambos lados con respecto a x.
- ¿Cuántos números de 3 dígitos existen de modo que sean divisibles por 7 y, si se intercambian a sus lugares extremos, también son divisibles por 7?
- ¿Qué es 3 + 3 * 3-3 + 3?
- ¿Qué número es 1,000 billones?
- ¿Por qué 1 no es un número primo?
- Si el producto de dos números es 2,028 y su HCF es 13, ¿cuáles son los números? ¿Cuál es la mejor manera de explicar esto?
[matemáticas] \ langle 1, 2, 3,… \ rangle \ longleftrightarrow 1 + 2x + 3x ^ {2} +… = \ dfrac {1} {(1-x) ^ {2}} [/ math]
Pero desafortunadamente, al diferenciar una función generadora, cada elemento de la secuencia se desplaza a un lugar. Por lo tanto, multiplique por x para desplazarlos de regreso a sus lugares originales.
[matemáticas] \ langle 0, 1, 2, 3,… \ rangle \ longleftrightarrow x + 2x ^ {2} + 3x ^ {3} +… = \ dfrac {x} {(1-x) ^ {2}} = \ dfrac {1} {(1-x) ^ {2}} – \ dfrac {1} {(1-x)} [/ math]
Diferenciar ambos lados con respecto a x nuevamente, y multiplicar por x una vez más después de diferenciar.
[matemáticas] \ langle 1, 4, 9,… \ rangle \ longleftrightarrow 1 + 4x + 9x ^ {2} +… = \ dfrac {2} {(1-x) ^ {3}} – \ dfrac {1} {(1-x) ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ langle 0, 1, 4, 9,… \ rangle \ longleftrightarrow x + 4x ^ {2} + 9x ^ {3} +… = \ dfrac {2x} {(1-x) ^ {3}} – \ dfrac {x} {(1-x) ^ {2}} [/ math]
Hemos encontrado con éxito una expresión de forma cerrada para la función generadora cuyo elemento [math] i ^ {th} [/ math] en la secuencia es [math] i ^ 2 [/ math]. Pero necesitamos encontrar la función generadora cuyos coeficientes son [math] \ sum i ^ {2}. [/ Math]
Teorema: – Si tenemos dos funciones generadoras [matemática] A (x) [/ matemática] y [matemática] B (x) [/ matemática] tal que [matemática] C (x) = A (x) B (x) [/ math] entonces los coeficientes de [math] x ^ {n} [/ math] en [math] C (x) [/ math] viene dado por
[matemáticas] c_ {n} = a_ {0} b_ {n} + a_ {1} b_ {n-1} +… + a_ {n} b_ {0} [/ matemáticas]
Todo sería perfecto solo si [math] b_ {i} = 1 \ hspace {0.2cm} \ forall \ hspace {0.2cm} i \ in \ {0,1,2,… n \} [/ math]
Entonces, hábilmente dejaremos que [math] B (x) = \ dfrac {1} {(1-x)} [/ math] es decir [math] B (x) [/ math] corresponda a la función generadora de [math] \ langle 1,1,1,1 .. \ rangle [/ math] para que se cumpla esta condición y obtengamos [math] c_ {n} [/ math] como la suma de los coeficientes de [math] A (x) .[/matemáticas]
Por lo tanto, [math] C (x) = \ dfrac {2x} {(1-x) ^ {4}} – \ dfrac {x} {(1-x) ^ {3}} [/ math]
El último paso que queda es calcular el coeficiente de [matemática] x ^ {n} [/ matemática] en [matemática] C (x) [/ matemática], que es nuestro resultado deseado.
Coeficiente de [matemática] x ^ {n} = [/ matemática] 2 * Coeff de [matemática] x ^ {n-1} [/ matemática] en [matemática] \ dfrac {1} {(1-x) ^ { 4}} [/ math] [math] – [/ math] Coeff de [math] x ^ {n-1} [/ math] en [math] \ dfrac {1} {(1-x) ^ {3} }[/matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ binom {4 + (n-1) – 1} {4 – 1} – \ binom {3 + (n-1) – 1} {3 – 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ binom {2 + n} {3} – \ binom {1 + n} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 * \ dfrac {(2 + n) (1 + n) n} {6} – \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n (n + 1) * \ izquierda (\ dfrac {n + 2} {3} – \ dfrac {1} {2} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ en caja {\ por lo tanto \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} [/ matemáticas]