Una matriz de rotación para coordenadas 2D tiene la forma
[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix} [/ math]
Un número complejo [matemático] a + bi [/ matemático] puede representarse como una matriz real 2 × 2 bajo las reglas estándar para la multiplicación de matrices
[matemáticas] \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix} [/ math]
(¿Por qué? Porque la matriz
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]
cuando está al cuadrado, da el negativo de la matriz de identidad!)
¡Estas formas se parecen bastante! Pero podemos especificar cómo se ve una “rotación” sin usar [math] \ sin [/ math] o [math] \ cos [/ math] o coordenadas polares o cualquier geometría, excepto la palabra “rotación” en sí.
Obviamente, podríamos multiplicar dos números complejos juntos. ¿Qué hace que una “rotación” sea especial? Algebraicamente, es que conserva la norma [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]. Aquí también, la norma tiene una interpretación geométrica como “distancia al cuadrado” pero no la necesitamos. La norma es el determinante de la representación matricial anterior, o una norma de campo si consideramos [math] \ C [/ math] como una extensión de campo de [math] \ R [/ math].
¿Qué multiplicaciones preservan la norma (o determinante)? Solo aquellos con la norma (o determinante) de 1. Pero eso solo significa [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. De hecho, 1 es un valor muy especial para la norma: los elementos de la norma 1 forman un grupo multiplicativo. Es decir, están cerrados bajo multiplicación y tienen inversos multiplicativos (con la norma 1.)
Entonces, podemos definir una “rotación” de un número complejo [matemático] a + bi [/ matemático] como multiplicarlo por otro número complejo [matemático] x + yi [/ matemático], donde [matemático] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Esta rotación puede llevarse a cabo en la forma matricial anterior, o con reglas algebraicas normales como [matemáticas] (a + bi) (x + yi) = (ax-by) + (ay + bx) i [/ matemáticas]. Si lo deseamos, podemos sustituir [math] y = \ pm \ sqrt {1-x ^ 2} [/ math] para obtener
La rotación de [math] a + bi [/ math] por “[math] x [/ math]” da [math] (ax \ mp b \ sqrt {1-x ^ 2}) + (bx \ pm a \ sqrt {1-x ^ 2}) i [/ matemáticas]
Esta definición corresponde exactamente a la matriz de rotación con la que comenzamos, porque [math] \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 [/ math]. Acabamos de hacer la sustitución [math] x = \ sin \ theta [/ math]. Y tenga en cuenta que [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática] es imposible para [matemática] x, y [/ matemática] si [matemática] x> 1 [/ matemática], entonces cualquier posible [matemática] ] x, y [/ math] es representable por algunos [math] \ theta [/ math]. Pero podemos ignorar todo eso, si queremos, y centrarnos en una definición de rotación como multiplicación por un elemento de la norma 1.