¿Hay un patrón para los números primos?

Answer 1

Es cierto que la distribución de números primos puede parecer aleatoria (y lo es hasta cierto punto). Sin embargo, las herramientas de la teoría analítica de números nos dan una visión crucial de la distribución de los números primos y revelan muchos patrones interesantes.

Deje que [math] \ pi (x) [/ math] represente el número de números primos [math] \ leq x [/ math] donde x es una variable real positiva.

De acuerdo con el teorema del número primo , del cual no conozco una buena prueba elemental (la más simple que conozco utiliza un análisis complejo), lo siguiente es cierto de [math] \ pi (x) [/ math] cuando x se acerca al infinito:

[matemáticas] \ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x} [/ matemáticas]

El ~ representa la equivalencia asintótica, cuya idea principal es que la función [matemática] \ pi (x) [/ matemática] se acerca mucho a la función [matemática] \ frac {x} {\ log x} [/ matemática] , con la aproximación cada vez mejor a medida que x se hace más y más grande.

Para aquellos familiarizados con el cálculo elemental, [matemática] f (x) \ sim g (x) [/ matemática] si el límite como x se aproxima al infinito de [matemática] \ frac {f (x)} {g (x)} [ / matemáticas] es 1.

Como es habitual en las matemáticas superiores, log representa el logaritmo natural. Esto también implica que si [math] p (n) [/ math] representa el [math] n [/ math] -th prime, entonces:

[matemáticas] p (n) \ sim n \ log (n) [/ matemáticas]

Otro colorario fácil es que si elige un entero aleatorio de los primeros enteros positivos [matemáticos] n [/ matemáticos], la probabilidad de que sea primo es de [matemáticos] \ frac {1} {\ log n} [/ matemáticos]

Otra forma del teorema de los números primos que es ligeramente menos intuitiva pero empíricamente más precisa es la siguiente:

[matemáticas] \ pi (x) \ sim \ int_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt [/ matemáticas]

En ambos casos, el lado izquierdo es un número entero, mientras que el lado derecho tiene una función trascendental horrible (que podemos evaluar un poco más fácilmente que el izquierdo, por extraño que parezca). En cualquier caso, debe haber algún error si aproximamos [math] \ pi (x) [/ math] como [math] \ int_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt [/ math]

Todavía no conozco el mejor límite de error probado hasta el momento, pero si la hipótesis de Riemann resulta ser cierta, podemos mejorar el límite de error para:

[matemáticas] \ pi (x) = \ int_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x)) [/ matemáticas]

Del mismo modo, si el error ligado es verdadero, también podemos probar la hipótesis de Riemann. Lo importante de este error es que es estricto: sabemos que no podemos hacerlo mejor.

Diría que el teorema de los números primos es probablemente el resultado más importante e interesante en la teoría analítica de números.

tl; dr, los números primos siguen asintóticamente una distribución que es como una función analítica relativamente fácil, entonces sí hay un patrón.

Answer 2

Una vez estuve enseñando matemáticas a algunos estudiantes de secundaria en una escuela privada exclusiva. Tenía un estudiante que era arrogante y que constantemente me molestaba a mí y a los otros estudiantes. La administración no apoyó mis intentos de disciplinarlo. Se me ocurrió esta solución:

Le dije que si podía encontrar un patrón para los números primos, para poder predecir el siguiente, podría ganar mucho dinero y ser famoso. Le gustó este desafío y comenzó a dedicarse a él. Tenía páginas y páginas de cálculos y nunca más me molestó. De vez en cuando mostraba cierto interés en su trabajo y él decía algo como: “Creo que estoy haciendo algo …”

Sabía que no encontraría nada, porque sabía que no hay un patrón para los números primos. Puede haber algunas áreas locales donde parece que hay un patrón, pero no hay un patrón general y no hay una fórmula para predecir el siguiente número primo sin PRUEBA.

Piénsalo de esta manera. Eres un hombre paleolítico que se da cuenta de que 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son primos. Te preguntas cuál será el próximo prime. No hay forma de encontrarlo sin algunas pruebas. Puedes probar 14. No. 15, no. 16, no. 17, bingo.

Solo necesita probar los factores hasta la raíz cuadrada del número (en el caso de 17: 2, 3 y 4) porque el siguiente número será demasiado grande, pero necesita PROBAR. Esta prueba lleva mucho tiempo computacionalmente. Esta es la base actual de la criptografía. Si pudiéramos predecir el próximo número primo, todas nuestras contraseñas estarían desnudas.

Los matemáticos parecen odiar admitir que existe este CAOS en el medio de los números, pero lo hay, y lo encuentro encantador.

¿Cómo sé que no hay un patrón?

Patrón: (definición del diccionario)
• una disposición o secuencia REGULARMENTE encontrada en objetos o eventos comparables.
• una forma o secuencia REGULAR e inteligible discernible en ciertas acciones o situaciones.

Entonces, un PATRÓN implica REGULARIDAD o REPETICIÓN.
REPETICIÓN implica MULTIPLICACIÓN porque MULTIPLICACIÓN es ADICIÓN REPETITIVA.
La multiplicación implica FACTORES, y no podemos tener factores si es primo.

Calcular: (definición) determinar (la cantidad o el número de algo) matemáticamente. No determinamos si un número es primo MATEMÁTICAMENTE. Lo hacemos EXPERIMENTAMENTE.

Creo que los números primos no tienen un PATRÓN pero parecen tener ciertas TENDENCIAS. TENDEN a volverse MÁS ESPACIOSOS a medida que aumentan las cantidades, pero de repente … ves dos juntos. Estos se llaman primos gemelos. Ejemplos: (41, 43), (137, 139). Nadie sabe si los primos gemelos, como los primos, son infinitos. No ha sido probado.

Wikipedia:
“El par gemelo principal más grande conocido actualmente es 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1
con 388,342 dígitos decimales. Fue descubierto en septiembre de 2016. ”
Twin Prime – Wikipedia

Al igual que con los primos en sí, no hay una manera ficticia de predecir cuándo aparecerán estos primos gemelos. (PODRÍA ser posible probar si alguna vez terminan. Pruébalo).

Algunas personas piensan que hay “patrones” en la espiral de Ulam.
Espiral de Ulam – Wikipedia

SIN EMBARGO, si descarga la figura y la explota, verá emerger algunas líneas rectas y luego DESAPARECER. Los números primos son infinitos. Entonces, por supuesto, estadísticamente (en nuestro sistema ARBITRARY Base 10) algunas líneas rectas aparecerán a veces, como cuando arrojas monedas a veces obtendrás una gran cantidad de Cabezas.

(Además, la espiral de Ulam usa cuadrados. Creo que aparecerá una espiral diferente si usa otras formas de relleno de área: triángulos o hexágonos).

La ciencia se trata de encontrar patrones para predecir. Podemos predecir cuándo será el próximo eclipse lunar, podemos predecir cuándo saldrá el sol mañana, podemos predecir cuándo el agua se congelará y hervirá, pero NO PODEMOS predecir el próximo número primo.

Resumen: es posible que puedas recoger la serpiente, pero no sabes de qué manera se girará.

Nota: Esta respuesta se basa principalmente en mi respuesta anterior aquí:

La respuesta de Bill Lauritzen a ¿Hay un premio para quien descubra el patrón en números primos?

Answer 3

Como diría Max Cohen: si grafica números de cualquier sistema, surgen patrones.

Depende de lo que llames un patrón, pero hay dos cosas que puedo decirte:

1. Espiral de Ulam: escriba enteros consecutivos en una espiral y circule los números primos. Los verá agrupados en diagonales, horizontales y verticales:

2. El teorema de los números primos dice que la distribución de los números primos es bastante regular y asintóticamente [matemáticas] \ pi (x) ~ \ frac {x} {\ ln x} [/ matemáticas], es decir, el número de números primos menor o igual que x se puede aproximar con x / ln x.

EDITAR: por supuesto, no olvide todos los números primos, excepto que 2 o 3 son 6n + 1 o 6n-1. Eso también encaja aproximadamente en su pregunta. También puede encontrar otras familias infinitas de primos de esta o aquella forma, así como polinomios que generan primos (y algunos no primos, por supuesto).

Answer 4

Si. Si crea una matriz de números donde su ancho es igual a un primorial, entonces los primos y semi-primos se segregarán naturalmente en columnas.

ejemplos

2 * 3 = 6

primos y semi-primos se segregarán en 2 de las 6 columnas

01 02 03 04 05 06

07 08 09 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

2 * 3 * 5 = 30

los números primos y semi-primos se segregan en 8 de las 30 columnas:

Echa un vistazo a Prime Matrix Harmonic Matrices.

Encontrar grandes primos usando armónicos de onda estacionaria

Answer 5

Tantos patrones … Aquí hay un patrón desconocido de primos emparejados. Los llamo “primos biquadraticos emparejados” (aunque creo que me he apropiado de biquadratic de su significado matemático normal).

Dos números primos que están separados por el equivalente de dos o más múltiplos pares de intervalos cuadráticos. Ambos primos son mayores que sus cuadrados perfectos anteriores en la misma cantidad o desplazamiento.

Este diagrama ilustra la relación para dos pares de primos pares biquadráticos:

Hay una diferencia común, o desplazamiento, entre los números primos de cada par y sus cuadrados perfectos anteriores: 23 y 43 tienen un desplazamiento impar de 7 de los cuadrados perfectos pares 16 y 36; 29 y 53 tienen un desplazamiento uniforme de 4 de los cuadrados perfectos 25 y 49.

La primera docena de pares primos son:

A134969 – OEIS

De hecho, hay un gran número de primos emparejados para cada múltiplo par del intervalo cuadrático: 2, 4, 6, 8, 10, hasta 100, hasta 1000, y así sucesivamente.

De los 500 intervalos pares por debajo de 1000, los 10 con la mayor frecuencia de pares primos son los siguientes:

Hay una correspondencia sorprendente en las 10 compensaciones que producen el mayor número de primos emparejados para cada intervalo:

Creé una visualización de Excel de todo el asunto:

Para hacer esto, necesitará saber cómo usar la función de macro VBA:

  Lb pública como objeto
 Private Sub Workbook_Open ()
     Con hojas de trabajo (1)
         Para sc = 1 a .Shapes.Count
             .Formas (sc) .Seleccione
             Selección.Corte
             sc = sc - 1
             Si sc = 0, salga por
         próximo
         Establezca lb = .Shapes.AddFormControl (xlListBox, 0, 0, 95, 90)
         Para QIs = 2 a 36 Paso 2
             lb.ControlFormat.AddItem QIs
         próximo
         lb.ControlFormat.ListIndex = 1
         Establezca bt = .Shapes.AddFormControl (xlButtonControl, 0, 90, 95, 15)
         bt.Seleccione
         bt.Name = "Button1" 
         Selection.Caption = "Ejecutar"
         .Células (1, 1) .Seleccione
         ActiveSheet.Shapes ("Button1"). OnAction = "ThisWorkbook.ChangeInterval"
         .Cells.ClearContents
         .Cells.ClearFormats
     Terminar con
     Rotaciones
 Sub final
 Private Sub ChangeInterval ()
     Hojas de trabajo (1) .Cells.ClearFormats
     Rotaciones
 Sub final
 Sub rotaciones públicas ()
 Dim QuadIntvs como entero
     Con hojas de trabajo (1)
         .Cells (1, 1) .Value = "Rotación"
         .Cells (1, 2) .Value = "Perfect Square"
         QuadIntvs = lb.ControlFormat.List (lb.ControlFormat.ListIndex)
         Desplazamiento = 1
         Para cl = 3 a 256
             .Cells (1, cl) .Value = "PS +" + Str $ (Offset)
             Offset = Offset + 1
         próximo
         Rotación = 1
         Hacer hasta rotación> 200
             perfectsquare = Rotación * Rotación 'cuadrado perfecto
             diffsquare = (perfectsquare - previoussquare) 'diff entre este psq y el psq anterior
             nextperfectsquare = (Rotación + 1) * (Rotación + 1)
             PR = Rotación + 2
             .Cells (PR, 1) .Value = Str $ (Rotación) 'A
             .Cells (PR, 2) .Value = Str $ (perfectsquare) 'B
             ec = 0
             Para Offset = 1 a 253
                 ec = ec + 1
                 Si perfectsquare + Offset> nextperfectsquare, salga por
                 .Cells (PR, 2 + ec) .Value = Str $ (perfectsquare + Offset)
                 If IsPrime (perfectsquare + Offset) Entonces
                     If .Cells (PR, 2 + ec) .Interior.Color <> vbRed Then
                         .Cells (PR, 2 + ec) .Interior.Color = vbYellow
                     Terminara si
                     QR = ((Rotación + QuadIntvs) * (Rotación + QuadIntvs)) + Offset
                     If IsPrime (QR) Entonces
                         .Cells (PR, 2 + ec) .Interior.Color = vbRed
                         .Cells (PR + QuadIntvs, 2 + ec) .Interior.Color = vbRed
                         Para rt = 0 a QuadIntvs - 1
                             .Cells (PR + rt, 2 + ec) .Borders (xlEdgeLeft) .Color = vbRed
                             .Cells (PR + rt, 3 + ec) .Borders (xlEdgeLeft) .Color = vbRed
                         próximo
                     Terminara si
                 Terminara si
                 DoEvents
             próximo
             DoEvents
             Rotación = Rotación + 1
             anteriorsquare = perfectsquare
             DoEvents
         Lazo
     Terminar con
     MsgBox "Finalizado. Puede seleccionar otro intervalo y hacer clic en Ejecutar", vbInformation
 Sub final
 Función privada IsPrime (pt como variante) como booleana
 Dim ff como variante
     Si pt <> 2 entonces
         Si ModOp (pt, 2) = 0 Entonces
             IsPrime = False
             Función de salida
         Terminara si
         Para ff = 3 a Sqr (pt) Paso 2
             DoEvents
             Si ModOp (pt, ff) = 0 Entonces
                 IsPrime = False
                 Función de salida
             Terminara si
         próximo
     Terminara si
     IsPrime = True
 Función final
 Función privada ModOp (valor1 como variante, valor2 como variante) como doble
 Dim vratio como variante
     vratio = CDec (valor1) / CDec (Valor2)
     ModOp = CDec (vratio) - Int (vratio)
 Función final

Answer 6

Existen innumerables patrones sutiles y escurridizos en la distribución de números primos, muchos de ellos tentadoramente inexplicables. Eso es lo que hace que los números primos sean tan fascinantes para los teóricos de números.

Aquí hay uno genial para comenzar: https://en.m.wikipedia.org/wiki/… .

Answer 7

Aquí está mi distribución de números primos (¡fundada anoche!). Buscando confirmación, o una supercomputadora …
Primero algunos hechos:

1. Los números primos con 2 o más dígitos tienen las sumas de sus dígitos iguales a Solo uno de los siguientes: {1,2,4,5,7,8}
Ejemplo: 11 = 1 + 1 = 2, 23 = 2 + 3 = 5, 103 = 1 + 3 = 4, etc.

2. Si agrupamos los números primos de acuerdo con sus sumas respectivas, la brecha en cada grupo entre cualquier primo sucesivo, pero no restringido a primos sucesivos en cada grupo, es un múltiplo de 9.

3. Todos los números primos con dos o más dígitos se encuentran en la intersección de las líneas x = 1, x = 2, x = 4, x = 5, x = 7, x = 8 y las líneas generadas por y = x + 9n , donde n = {1,2,3, … ∞} .
*** No todas las “n” generarán una línea tal que su intersección con una de las líneas x = 1,2,4,5,7,8 tendrá la coordenada y un Número primo.

Gráficos y algunas ecuaciones

Como puede ver, cada línea se cruza con 6 líneas verticales.
De los 6 puntos de intersección, 3 coordenadas son números pares y 3 son números impares.
Esto reduce la prueba de primalidad a un máximo de 3 números para las pruebas en cada región.

Aquí hay un ejemplo:

Prueba de primalidad 18011, 18013, 18017. Después de probar …
18013 es un numero primo.

Otro ejemplo:
329720305014161086772742857 es primo.
(329 septillones 720 sextillones 305 quintillones 14 cuatrillones 161 trillones 86 billones 772 millones 742 mil 851)
(tomó algunos intentos al azar para encontrar este – 5 minutos – ¿tuvo suerte?)

Pregúntese esto: ¿Cuánto tiempo tomará encontrar un número en los cien septillones que resulte ser primo?

Continuará …

Answer 8

Echa un vistazo a la espiral de ulam. Se trata de organizar los números naturales que muestran que ciertos polinomios generan una alta proporción de números primos. Los números están ordenados así, los números primos son rojos:

A medida que la cuadrícula se agranda, surgen más y más patrones.

Answer 9

No, no hay patrón en los números primos. El conjunto de números primos actúa como una subsecuencia aleatoria de la secuencia de enteros, pero, por supuesto, tiene algún “patrón” que no podemos describir. De hecho, hay algunas fórmulas para los números primos, pero no muestra lo suficiente si vemos algún patrón, ya que estas fórmulas no son como las fórmulas que generalmente se ven en las matemáticas.

Sin embargo, hay dos medidas tal vez como el patrón de los números primos. Permítanme tratar de describir estos dos índices de patrones:

1. La hipótesis de Riemann es una conjetura sobre el patrón. Da una estimación de cuántos números primos en cada intervalo [matemática] [1, x] [/ matemática] con respecto a cualquier número positivo fijo [matemática] x [/ matemática] hasta cierta precisión con límite superior fijo especificado para el error en la estimación Si se demuestra que es válido, entonces sabemos un poco más sobre el “patrón”, si prefiere utilizar esta terminología.

2. Otra medida importante sobre los números primos son las brechas entre los números primos. El resultado reciente de Yitang Zhang es en esa dirección, ya que la conjetura de los primos gemelos está relacionada con las brechas entre los números primos.

La conjetura de Goldbach tal vez depende en gran medida de estos dos parámetros de “patrón” (cuántos y qué tan separados) que mencioné anteriormente.

Answer 10

No existe una fórmula que pueda evaluarse para determinar el valor de los números primos. De hecho, ¡aquí Fórmula para números primos puede encontrar una prueba de que tal fórmula no puede existir!

¡Puede usar un tamiz (como Tamiz de Eratóstenes) para excluir valores que no son primos, lo que puede ser una actividad divertida para discutir números primos, pero no es extremadamente eficiente en el tiempo!

El descubrimiento de primos grandes se realiza en las computadoras en estos días, y se realiza mediante la prueba de cada número de factores. ¡Tedioso! Aquí hay un artículo interesante sobre un individuo que ha descubierto tres números primos tan grandes: Matemático: encontrar números primos de 17 millones de dígitos como escalar el Everest. ¡Disfrutar!

Answer 11

No. La espiral de Ulam no es más que el patrón de números [matemáticos] 6n \ pm 1 [/ matemáticos]. Cada número primo uno más grande que [math] 3 [/ math] tiene este formato. Debido a que los números primos son densos al principio, parecen coincidir con esta espiral. A medida que avanzamos hacia un rango de números mayor, los números primos se diluyen y la espiral se desvanece.

Answer 12

Mire nuevamente los primeros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. . .

Pregunta: ¿Hay un patrón aquí, o los primos se esparcen al azar en todo el conjunto?

números, aparte de la ley estadística que mencioné antes?

¡Ese es el tipo de pregunta que nunca puede responder hasta que tenga claro lo que significa! En el uno

Por otro lado, hay miles de pequeños patrones. Por ejemplo, preguntemos qué primos se pueden escribir como una suma

de dos cuadrados.

2 sí: 12 + 12

3 no

5 Sí: 22 + 12

7 no

11 no

13 Sí: 32 + 22

.

.

.

¿Ves un patrón? Sorprendentemente, la regla es la siguiente: un primo se puede escribir como una suma de dos cuadrados

si (y solo si) deja un resto de 1 o 2 cuando se divide por 4. No lo probaré aquí, pero es uno

ejemplo de un patrón.

Otro ejemplo: ¿qué números pares se pueden escribir como la suma de dos primos?

2 no

4 Sí: 2 + 2

6 Sí: 3 + 3

8 Sí: 5 + 3

10 Sí: 7 + 3, 5 + 5

12 Sí: 7 + 5

.

.

.

La famosa conjetura de Goldbach dice que cada número par mayor que 2 se puede escribir como una suma de dos

primos Desde 1742, nadie ha podido probarlo, pero sabemos que es cierto para todos los números pares hasta 400

trillón También sabemos que cada número impar mayor que aproximadamente 1043,000 se puede escribir como una suma de tres

primos (eso se llama Teorema de Vinogradov)

Answer 13

bueno, hay un teorema que indica que hay progresiones aritméticas largas arbitrarias (es decir, un conjunto de números primos para los cuales p_n = p_1 + n * d) en los números primos (debido a Ben Green y Terence Tao), por lo tanto, si está buscando este tipo de patrón lo encontrarás.

Answer 14

La densidad de los números primos es una fórmula bien conocida.

Por favor mira:

Answer 15

¡Probablemente no! Pero también depende de la definición de su “patrón”.

Encontré esto agradable para verificar si un número dado es primo o no: una expresión regular para verificar los números primos.

Answer 16

Patrón para TODOS los números PRIME

Crea dos listas …

6a + 1 (7, 13, 19, 25, 31, 37, …)

6a-1 (5, 11, 17, 23, 29, 35, …)

Tenga en cuenta que 25 y 35 no son primos, pero llegaremos a eso. También faltan las notas 2 y 3, son la base de todos los números primos que 2 × 3 = 6.

Ahora combine ambas listas …

(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, …)

Ahora tenemos que eliminar las excepciones …

Si tomamos todas las combinaciones de nuestra lista y las multiplicamos, encontramos TODAS LAS EXCEPCIONES.

5x … =?

5 × 5 = 25

5 × 7 = 35

5 × 11 = 55

5 × 13 = 65

5 × 17 = 85

5 × 19 = 95

etc.

Aparte de 25 y 35, todos los demás productos son DEMASIADO ALTOS para nuestra lista.

Eliminamos las respuestas anteriores de nuestra lista …

(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …)

Ahora haga lo mismo para las excepciones restantes …

7 × 7 = 49

7 × 11 = 77

… Estos productos son nuevamente mayores que el valor máximo en nuestra lista, por lo que no es necesario continuar …

11 × 11 = 121

… De nuevo, demasiado alto, no afecta nuestra lista, esto es lo mismo para las excepciones restantes.

Ahora solo agregue el 2 y el 3 al comienzo de la lista o para este rango muestra todos los números primos.

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …)

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Por cierto, he escrito un programa y lo he probado con números primos mucho más altos, todos resultantes de todos los números primos. Lo comprobé probando el (enésimo) número primo para ver si sale en Wikipedia. (Ej. 137 en base10 es el número 33 primo)

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Editar:

El patrón infinito se puede ver organizando una lista de números con filas de seis de longitud. Tenga en cuenta que, después de eliminar los múltiplos de 2 y 3, todos los números primos deben caer en las columnas 1 y 5 únicamente. Esto puede confirmarse convirtiendo la lista completa a MOD (9) como se muestra a continuación …

Tres fórmulas para generar EXCEPCIONES PRINCIPALES …

Donde a & b son dos listas de números (1,2,3, …)

36ab-6a-6b + 1

36ab + 6a-6b-1

36ab + 6a + 6b + 1

Answer 17

Solo para simplificar la explicación.

Mira estos videos:

https://youtu.be/tlpYjrbujG0

Answer 18

Sí, hay un patrón de primo y es múltiple para cero de la función zeta por mod (po, p) = 0 del término de error ROSE mod (x, po) / po agrega uno más en cada p ^ 2, prueba cero de la función zeta en línea x = 1/2.

Answer 19

No en realidad no. Los primos solo corresponden a las brechas entre los números compuestos, por lo que debe intentar factorizar cada número que encuentre, solo sabiendo que un número es primo cuando no lo hace.

Answer 20

No existe tal patrón en los números primos, pero puede identificar si un número puede ser número primo o no utilizando la fórmula (6N ± 1). Si un número está en esta forma, solo puede ser un número primo.