¿Podría haber otro número como i que expanda el dominio de los números de una manera nueva, o esto está impedido por un teorema? ¿Si es así, Cuál?

Answer 1

Si y no. Depende de lo que quieras pedir de tus números.

Estas son algunas propiedades clave de los números complejos:

1. (La multiplicación es conmutativa) [matemática] ab = ba [/ matemática] para todos los números complejos [matemática] a, b [/ matemática].
2. (No “divisores cero”) [matemática] ab = 0 [/ matemática] implica [matemática] a = 0 [/ matemática] o [matemática] b = 0 [/ matemática].
3. (Invertidos) Si [math] a \ neq 0 [/ math], entonces hay un número [math] a ^ {- 1} [/ math] para que [math] aa ^ {- 1} = a ^ {- 1} a = 1 [/ matemáticas]. En otras palabras, podemos dividir por cualquier número distinto de cero.

En términos generales, una colección de números con estas propiedades se llama campo.

Es un teorema que los números complejos están “algebraicamente cerrados”, lo que significa que no puede introducir un nuevo número relacionado con sus números existentes por un polinomio, y terminar con un campo. Para ser un poco más concreto, la forma en que pasamos de los números reales a los números complejos es mediante la introducción de un número [matemático] i [/ matemático] que está relacionado con los números reales por la relación polinómica [matemática] i ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Este es el sentido en el que me refiero a un “número relacionado con sus números existentes por un polinomio”. Si intentara hacer lo mismo con los números complejos, simplemente recuperaría los números complejos porque ya tenemos un número que resuelve la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]. (O, dependiendo de cómo lo haga, puede obtener dos copias de los números complejos. En este caso, el conjunto de números que sacamos no tiene la propiedad 2, pero esto es técnico, por lo que me gustaría ignorarlo. )

Si está dispuesto a abandonar la propiedad 1, puede agregar más números a los números complejos, como [math] i [/ math]. Un ejemplo son los cuaterniones, un sistema de números con tres tipos de raíces cuadradas de [matemáticas] -1 [/ matemáticas], llamadas [matemáticas] i, j, [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas]. (Si ha visto vectores escritos como sumas de [matemática] i [/ matemática] s, [matemática] j [/ matemática] s, y [matemática] k [/ matemática] s, la notación está inspirada en los cuaterniones. )

Si desea conservar la propiedad 1, pero no le importa que su nuevo número esté relacionado con sus números existentes por un polinomio, entonces definitivamente puede obtener nuevos conjuntos de números. Un ejemplo es el “anillo polinomial” [math] \ mathbb {C} [x] [/ math]. Sus elementos son polinomios en el indeterminado [math] x [/ math] con coeficientes en [math] \ mathbb {C} [/ math], por ejemplo [math] x ^ 2 + ix – 2 [/ math]. Este es el conjunto más pequeño de números que obtienes al agregar el nuevo número [math] x [/ math], luego te permite sumar, restar y multiplicarlo con tus números existentes, siempre que [math] x [/ math] no tiene ninguna relación con sus números existentes.

Sin embargo, a [math] \ mathbb {C} [x] [/ math] le falta la propiedad 3: [math] \ frac {1} {x} [/ math] no es un polinomio, por ejemplo. Si desea tener división, obtiene un conjunto de números más grande, el campo [math] \ mathbb {C} (x) [/ math]. Sus elementos son funciones racionales en el indeterminado [math] x [/ math] con coeficientes en [math] \ mathbb {C} [/ math], por ejemplo [math] \ frac {x + 5 – i} {x ^ 3 – (3 + i) x + 2} [/ matemáticas].

Si encuentra interesante este tipo de cosas, el lugar para comenzar a buscar se llama teoría del anillo. Tiende a introducirse en un curso de primer o segundo semestre de álgebra abstracta.

Answer 2

Sí, puede inventar los números adicionales que desee y darles reglas sobre cómo funcionan. Sin embargo, generalmente cuando haces esto terminarás rompiendo alguna regla que estás acostumbrado a seguir en matemáticas, haciendo que todo sea mucho menos útil.

El ejemplo obvio es el cuaternión, que es un conjunto de números que usan i, j y k como las raíces cuadradas de -1, con i * j * k = -1. Son bastante útiles para las matemáticas vectoriales en 3D, y cada letra representa una dimensión. Sin embargo, cuando agrega esos valores adicionales, termina rompiendo la regla de que A * B = B * A, lo que significa que no son conmutativos. Las cosas empeoran aún más con otros números ‘hipercomplejos’, convirtiendo a los números complejos en cierto sentido en el conjunto de números ‘más grande’ que obedecen las reglas regulares que esperarías de los números.

Answer 3

El teorema fundamental del álgebra demostró que los números complejos están cerrados para todas las funciones simples. Lo que eso significa es que para que haya un nuevo número de expansión del sistema, primero tendría que introducirse un nuevo tipo fundamental de operación, lo que parece poco probable. Dicho esto, se han creado muchos sistemas nuevos, muchos de los cuales se basan en la adición de un único número nuevo. Por ejemplo, w, el primer número cardinal, se introdujo para crear un nuevo sistema de números que incluye números infinitos e infinitesimales.