Deje [math] n = p_1 ^ {k_1} \ cdot p_2 ^ {k_1} \ cdots p_m ^ {k_m} [/ math] para [math] p_1, p_2, \ ldots, p_m [/ math] primos, luego la suma de sus factores [matemática] F (n) = \ frac {p_1 ^ {k_1 + 1} -1} {p_1-1} \ cdot \ frac {p_2 ^ {k_2 + 1} -1} {p_2-1} \ cdots \ frac {p_m ^ {k_m + 1} -1} {p_m-1} [/ math], donde cada una de estas fracciones es un número entero. (Esto incluye el número mismo como factor).
Cada expresión [math] \ frac {p_i ^ {k_i + 1}} {p_i} [/ math] es la suma de los primeros poderes [math] k_i [/ math] de [math] p_i [/ math].
[matemáticas] 100 \, 000 = 2 ^ 55 ^ 5 [/ matemáticas].
Entonces, ahora es una cuestión de inspección. Un primer enfoque es suponer [matemáticas] m = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] k_1 = k_2 = 1 [/ matemáticas]. Entonces nuestro número es solo [matemática] n = p_1p_2 [/ matemática], y la suma de factores es [matemática] (p_1 + 1) (p_2 + 1) [/ matemática], entonces tomamos todos los factores de [matemática] 100 \ , 000 [/ math], y verifique cuál de ellos es consecutivo a un número primo:
- ¿Cómo encuentro 4 enteros distintos de modo que la suma de dos y la suma de los cuatro sea un cuadrado?
- ¿Qué viene primero, 24/8, o el valor absoluto de 3, y por qué?
- ¿Cuál es el último dígito del número ((3 ^ 5) ^ 7) ^ 9 + 1?
- ¿Por qué todos los números “famosos” de las matemáticas son tan pequeños? (aproximadamente <4)
- Todos los dígitos del 0 al 9 se usan para formar dos números de 5 dígitos. ¿Cuál es la diferencia más pequeña posible entre estos dos números?
[matemáticas] \ begin {array} {rrrrrr} 1 y 2 y 4 y 8 y 16 y 32 \\ 5 y 10 y 20 y 40 y 80 y 160 \\ 25 y 50 y 100 y 200 y 400 y 800 \\ 125 y 250 y 500 y 1 \, 000 y 2 \, 000 y 4 \, 000 \\ 625 y 1 \, 250 y 2 \, 500 y 5 \ 000 \, 000 y 000 \ 3 \, 125 y 6 \, 250 y 12 \, 500 y 25 \, 000 y 50 \, 000 y 100 \, 000 \ end {array} [/ math]
Los únicos números son [matemática] 3 [/ matemática] [matemática] +1 [/ matemática], [matemática] 7 [/ matemática] [matemática] +1 [/ matemática], [matemática] 19 + 1 [/ matemática ], [matemáticas] 31 + 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 79 + 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 199 + 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 499 + 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 \, 249 + 1 [/ matemáticas], y [matemáticas] 4 \, 999 + 1 [/ matemáticas].
Entonces [matemáticas] 199 \ times499 = 99 \, 301 [/ matemáticas], [matemáticas] 79 \ veces1 \, 249 = 98 \, 671 [/ matemáticas] y [matemáticas] 19 \ veces4 \, 999 = 94 \, 981 [/ math] son tales números.
Por inspección, también podemos encontrar [matemáticas] 40 = 1 + 3 + 9 + 27 [/ matemáticas] y [matemáticas] 400 = 1 + 7 + 49 + 343 [/ matemáticas], sin embargo, [matemáticas] 2 \, 500 [/ math], ni [math] 250 [/ math] son la suma de poderes primarios (o múltiplos de tales sumas), y tampoco lo son [math] 3 \, 125 [/ math] o [math] 12 \, 500 [/ matemática] (complementa a [matemática] 7 + 1 [/ matemática] y [matemática] 31 + 1 [/ matemática] respectivamente)
Entonces tenemos [matemáticas] 25 \, 000 = 20 \ veces1 \, 250 = (1 + 19) (1 + 1 \, 249) [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] 3 \ veces19 \ veces1 \, 249 = 71 \, 193 [/ math] también funciona.
Entonces estos son los números:
[matemáticas] 71 \, 193 [/ matemáticas],
[matemáticas] 94 \, 981 [/ matemáticas],
[matemáticas] 98 \, 671 [/ matemáticas], y
[matemáticas] 99 \, 301 [/ matemáticas].