Hola a todos,
Soy el cartel original de la pregunta y después de recibir mucha variedad en las respuestas, creo que debería aclarar un par de cosas con la pregunta original. (Tanto el tema de la pregunta como la descripción aquí en Quora no permiten escribir mucho, así que tuve que hacer que la pregunta y la descripción fueran un poco delgadas)
Se ha observado en un par de respuestas que hay grandes números en la lista de constantes que proporcioné. Aclararé que no estoy particularmente interesado en esos por las siguientes razones:
1.) Gran parte de esos grandes números surgen como resultado de contar cosas; número de permutaciones de N objetos, etc. Los resultados de conteo pueden involucrar factoriales y cosas de esta naturaleza, por lo que pueden hacerse bastante grandes bastante rápido.
2.) Otra parte de los números “grandes” trata de encontrar el número más pequeño para el cual cierta propiedad de los objetos es verdadera. El número de Graham, por ejemplo, se define (aproximadamente) como el NÚMERO más pequeño para el cual una propiedad de los colores de los gráficos se aplica a ciertos tipos de gráficos. No estoy seguro si clasificaría esto como una noción de ‘contar’ por decir, pero no diría que la definición es de naturaleza geométrica.
Mi pregunta original trata de números que resultan de propiedades geométricas de objetos. Dado un círculo, Pi se define como la relación entre la circunferencia del círculo y su diámetro. Esto no tiene nada que ver con la cantidad de posibles círculos existentes, etc. El número Pi parece ser intrínseco a la definición misma de Círculo.
Dado un número R y un punto fijo P, el círculo en sí mismo puede definirse como el conjunto de todos los puntos de distancia R desde el punto P. ¿Por qué el comportamiento de una definición tan geométrica se rige por un número tan pequeño?
La Golden Ratio trata con proporciones de longitudes; una vez más, una construcción puramente geométrica gobernada por un número tan pequeño.
La función exponencial es posiblemente la función más importante en matemáticas; su crecimiento es ‘más rápido’ que otras funciones matemáticas, sin embargo, incluso aquí, el comportamiento de un objeto tan poderoso se rige por un número pequeño.
(Hubiera incluido la raíz cuadrada de 2 en la pregunta original, pero casi consideraría hacer trampa ya que ya esperarías que la raíz cuadrada de un entero sea más pequeña que el entero original, y 2 ya cae dentro de la ventana de ser menor que 4. Sin embargo, incluso aquí, la raíz cuadrada de 2 tiene conexiones profundas con el cuadrado, un objeto geométrico)
En la lista que proporcioné, en general, diría que estoy interesado en las constantes que se mencionan antes de la sección titulada ‘Algunos números naturales y enteros notables’. (Además, en la lista que proporcioné, encontrará que muchas de las constantes mayores de 4 tienden a ser combinaciones de Pi, e, etc. Por lo tanto, muchas de las> 4 constantes parecen depender de < 4 variedad)
Volveré para agregar más a esto si me parece que tengo pensamientos adicionales o si hay algo más que creo que debería aclarar.
Ha habido algunas respuestas comunes en las respuestas anteriores, que trataré de abordar aquí. Una última cosa que también incluiré es que la pregunta original está dirigida a abordar lo que parece ser una propiedad inherente de estos números en particular, y NO por qué estos números son importantes en sí mismos.
¿Qué quieres decir con ‘pequeño’?
En la pregunta original, noté que todas estas constantes parecen ser menos que el número 4 específicamente. Para aclarar esto, el número 4 es particularmente importante en álgebra; Dado el espacio de todos los polinomios, el número 4 es el mayor grado para el cual los polinomios tienen soluciones en términos de sus coeficientes. (Por favor, perdóname si esto salió torpe, pero recuerdo esto de los cursos de Álgebra abstracta) Para mí personalmente, parece que la ocurrencia es demasiado frecuente para ser puro accidente, y es demasiado sospechoso que todos parezcan ser menos de CUATRO en particular, dado lo que acabo de mencionar.
Si las constantes fueran demasiado grandes, las matemáticas serían insostenibles
Aunque es cierto que las constantes grandes harían que nuestros cálculos (humanos) fueran más feos, contrarrestaría que esto no tiene relación con la Naturaleza. Además, dado que la naturaleza misma parece ocuparse en grandes cantidades (millones de estrellas, miles de millones de granos de arena, miles de millones de especies, etc.), casi esperaría que fuera más razonable que las constantes por las cuales muchos de los objetos son gobernado también sería grande. (Ejemplo rápido: tiene que usar muchas más copias de 2 para llegar a 100 de lo que usaría el número 5. Debe sumar 50 2 para obtener 100, en lugar de solo 20 5).
Mi contador aquí es doble: las constantes grandes harían las matemáticas más insostenibles para nosotros los humanos, pero los humanos procesamos las cosas desde nuestro punto de vista, lo cual es subjetivo. (Sin rodeos, no importa lo que NOSOTROS pensemos, o lo que NOSOTROS consideremos conveniente. Lo que importa es lo que es comprobable). Además, las constantes grandes en realidad podrían facilitar las cosas en la Madre Naturaleza.
Podría haber constantes más grandes que son tan grandes que no las hemos encontrado
Creo que esta es definitivamente una buena respuesta, pero respondería que los números ‘famosos’ mencionados en la pregunta original son el resultado de objetos geométricos fundamentales que encontramos en la vida real. Los planetas son enormes y esféricos, pero prácticamente todos los números asociados a las esferas (volumen, área, etc.) involucran al pequeño número Pi. El valor de Pi podría haber sido entre 10 y 11, o entre 10,000,012 y 10,000,013. Sin embargo, termina siendo menos de 4, junto con muchos de sus otros primos famosos e importantes.
Probablemente no importante
Como se mencionó, la propiedad de estos números de ser menos de 4 parece demasiado casual para ser pura casualidad. Es posible que esto no sea importante, pero no creo que decir “probablemente no importe” sea una respuesta rigurosa.
Puedo nombrar esta otra constante que es mucho más grande, etc.
Es probable que haya excepciones. Me pregunto por qué esta propiedad parece ser cierta para la gran mayoría, y especialmente para las más importantes.