¿Por qué un número elevado al poder cero es igual a uno?

Answer 1

De las explicaciones matemáticas, me gusta lo mejor de Steve Denton. Pero ninguno de ellos es realmente una “explicación” en el sentido de que la pregunta es, creo. La pregunta está buscando el “¡ajá!” perspicacia, no la razón técnica para la corrección. La explicación de Steve muestra indirectamente cómo debe comportarse la cosa para mantener la coherencia con la propiedad de aditividad, pero aún no entiende por qué.

Hay muchas cosas en matemáticas (incluidas cosas bastante complicadas, como el teorema de Pitágoras) que se pueden entender a través de una serie de intuitivos “¡ajá!” pasos que terminan en un “¡ajá!” acumulativo

Pero también hay muchas cosas que parecen eludir la intuición. A veces, la razón es obvia (como nuestra incapacidad de nivel de hardware fundamental para pensar en más de 3 dimensiones). Otras veces no es obvio por qué algo que puedes ver formalmente es tan difícil de ver intuitivamente. Esta es una de esas cosas.

Aquí las cosas no son intuitivas porque no está claro qué significa multiplicar algo por sí mismo 0 veces. Nuestras intuiciones básicas sobre la multiplicación involucran los números naturales. Incluso la exponenciación negativa es realmente difícil de entender, por eso las escuelas lo enseñan a una edad temprana para que el niño se distraiga fácilmente y no haga demasiadas preguntas. Entonces, para una mejor intuición, necesitamos una explicación que involucre solo la exponenciación positiva.

Edwin Chen ofrece un modelo geométrico, pero las “dimensiones cero” simplemente mueven la oscuridad de la aritmética entera a la geometría.

Matthew Handy está en un camino más prometedor: está buscando propiedades de continuidad / convergencia. Pero él salta inmediatamente de +1 a -1. Eso es muy burdo.

Intentemos extender esta intuición. ¿Qué pasa con las potencias fraccionarias? Son raíces, ¿verdad? entonces [math] x ^ {\ frac {1} {n}} [/ math] es el número que, si se multiplica por sí mismo n veces, te da x .

Entonces puedes pensar así:

[matemáticas] x ^ 0 = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} x ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas]

es decir, como punto límite de la serie:

[matemáticas] x ^ {\ frac {1} {1}}, x ^ {\ frac {1} {2}}, x ^ {\ frac {1} {3}}, x ^ {\ frac {1} {4}}, \ ldots [/ math]

Dos ejemplos: si x = 2, obtienes

2, 1.414, 1.259, 1.189, …

Si x = 0.5, obtienes los recíprocos

0.5, 0.707, 0.793, 0.841 …

Esto todavía no es satisfactorio para nosotros los tipos intuitivos, pero al menos tienes una serie infinitamente contable que se acerca a 1 desde ambos lados de la cantidad que se eleva a una potencia, y el caso x = 1 es afortunadamente intuitivo (es todo 1s) . Entonces puede acercarse arbitrariamente a [math] x ^ 0 [/ math] desde cualquier lado de x, y desde la dirección positiva de la potencia.

La razón por la que esto no es satisfactorio es que nuestras intuiciones sobre los argumentos de continuidad se basan en nuestro sentido geométrico de la línea real. Las secuencias infinitamente contables no lo cortan (y por una buena razón: piense en [math] \ sin {\ frac {1} {x}} [/ math]).

Pero pensar en términos de exponenciación de verdaderos reales es a) peludo, b) requiere más cálculo del que me interesa escribir aquí yc) hará las cosas más turbias, no menos.

Como descubrirá si se sumerge demasiado en estas cosas, la línea real es como el País de las Maravillas de Alicia. Si crees que el conejo tardío que te arrastró hasta allí es una criatura extraña, espera hasta que veas la basura aún más extraña que acecha allí.

Esa es, entonces, la verdadera ruta para hacer que [math] x ^ 0 = 1 [/ math] parezca intuitivo: yuxtaponerlo contra cosas aún más extrañas.

Answer 2

En realidad, esto proviene de la definición misma de exponenciación real.

Con la exponenciación de enteros , todo va bien. Primero tienes una exponenciación entera positiva . Puedes definir :
[math] a ^ n = a \ text {x} a \ text {x} \ ldots \ text {x} a [/ math] ([math] n [/ math] veces) para [math] n [/ math ] un entero positivo no cero.

Entonces tienes exponenciación entera negativa , que puedes definir por:
[math] a ^ {- n} = \ frac {1} {a ^ n} [/ math], para [math] n \ in \ mathbb {N} ^ * [/ math].

Y luego puede definir [matemáticas] a ^ 0 = 1 [/ matemáticas], porque sería realmente útil tenerlo de esa manera, por ejemplo, para asegurar la coherencia de la propiedad aditiva de los exponentes como lo explica Steve Denton. Pero esta es solo una definición dada porque usted siente que las cosas deberían ser así.

Una explicación más profunda y más intrínseca se produce cuando se observa la exponenciación real . Dado [math] a \ in \ mathbb {R} _ + ^ * [/ math], ¿qué significa [math] a ^ x [/ math] cuando [math] x [/ math] está en [math] \ mathbb {R} [/ math] y ya no está vinculado a ser un número entero? Por ejemplo, ¿qué significa [matemáticas] 2 ^ \ pi [/ matemáticas]? Cuando se piensa de la misma manera que estamos acostumbrados a los exponentes enteros, esto no tiene sentido.

Nuevamente, hay una definición para exponentes reales positivos:
[math] \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math], [math] a ^ x = \ exp (x \ ln (a)) [/ math].

Con esto, puede ver que [math] a ^ x [/ math] es solo un alias de la función [math] x \ rightarrow \ exp (x \ ln (a)) [/ math]. Con esta definición, puede calcular [math] a [/ math] elevado a cualquier número real . Por lo tanto, también puede redefinir la exponenciación de enteros con esta fórmula, que proporciona una definición de exponenciación mucho más intrínseca que la básica para enteros.

Finalmente, puede ver que con esta definición, no hay ambigüedad sobre la definición de [math] a ^ 0 [/ math]. Solo tiene que escribir [matemáticas] a ^ 0 = \ exp (0 \ ln (a)) = \ exp (0) = 1 [/ matemáticas].

De esta manera, tiene una definición universal de exponenciación, y puede ver por qué [matemática] a ^ 0 = 1 [/ matemática] es finalmente una propiedad intrínseca de exponenciación.

Answer 3

[matemática] n ^ 5 [/ matemática] significa que multiplico [matemática] n [/ matemática] cinco veces por sí mismo. [matemáticas] n ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] n [/ matemáticas] multiplicado cuatro veces por sí mismo. Eso significa que todo lo que necesita para obtener [matemáticas] n ^ 4 [/ matemáticas] de [matemáticas] n ^ 5 [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] n [/ matemáticas]. Por lo tanto, tenemos

[matemáticas] n ^ 4 = n ^ 5 / n [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 3 = n ^ 4 / n [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 2 = n ^ 3 / n [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 1 = n ^ 2 / n [/ matemáticas]

Y finalmente,
[matemáticas] n ^ 0 [/ matemáticas] = [matemáticas] n ^ 1 / n [/ matemáticas]. Como [math] n ^ 1 [/ math] es lo mismo que [math] n [/ math], tenemos [math] n ^ 0 = n / n = 1 [/ math]

Esto se rompe cuando [math] n = 0 [/ math] aunque porque [math] 0/0 [/ math] no está definido.

Editar: En realidad, la convención moderna es [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Lea la respuesta de Anders Kaseorg a ¿Qué es [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] (el poder cero de cero)? para una explicación detallada

Answer 4

Muchas respuestas aquí que son altamente matemáticas. Pero, déjame asumir que no sabes suficientes matemáticas para seguir algunas de esas respuestas (aunque sean correctas).

Cuando k es un entero positivo (1, 2, 3 …) definimos [matemática] n ^ k [/ matemática] como n multiplicada por sí misma k veces. La mayoría de la gente parece estar de acuerdo con eso. Pero una cosa que los matemáticos adoran hacer es generalizar.

Entonces, tenemos una serie:

1. …
2. [matemáticas] n ^ 3 = n * n * n [/ matemáticas]
3. [matemáticas] n ^ 2 = n * n [/ matemáticas]
4. [matemáticas] n ^ 1 = n [/ matemáticas]
5. [matemáticas] n ^ 0 = \ text {WTF} [/ matemáticas]

¿Qué podría ser? Bueno, si reconocemos que n = n * 1 podemos reescribir la serie como

1. …
2. [matemáticas] n ^ 3 = n * n * n * 1 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] n ^ 2 = n * n * 1 [/ matemáticas]
4. [matemáticas] n ^ 1 = n * 1 [/ matemáticas]
5. [matemáticas] n ^ 0 = \ text {WTF} [/ matemáticas]

y ahora, está claro que WTF = 1.

Answer 5

Para enteros positivos myn, [math] m ^ n [/ math] es el número de funciones de un conjunto con n elementos a un conjunto con m elementos. Si queremos que esto se mantenga cuando n = 0, [math] m ^ 0 [/ math] debería contar el número de funciones del conjunto vacío a un conjunto con m elementos. Hay una de esas funciones: la función vacía. http://en.wikipedia.org/wiki/Emp… .

Answer 6

No soy experto en álgebra abstracta, así que responda con un grano de sal. En matemáticas, un elemento de identidad o elemento neutral es un tipo especial de elemento de un conjunto con respecto a una operación binaria en ese conjunto. Deja otros elementos sin cambios cuando se combina con ellos. Esto se usa para grupos y conceptos relacionados. Uno es el elemento de identidad bajo multiplicación. Ver más en wiki Exponentiation

Answer 7

Aquí hay una forma geométrica (pero no rigurosa) de pensarlo:

x ^ n es el volumen de un n-cubo con longitud de lado x, también conocido como el número de unidades n-cubos que necesitas para hacer un n-cubo con longitud de lado x . Por ejemplo, ocho cubos unitarios forman un cubo de dos lados (2 ^ 3 = 8).

En dimensiones cero, todo es un punto . En particular, la unidad 0-cube y el 0-cube de lado x son ambos puntos. Como solo se necesita un punto para hacer otro punto, tenemos x ^ 0 = 1.

Answer 8

Es una suposición.

Intuitivamente, parece que debería ser cero. Pero si tomamos nuestra intuición en serio y la definimos así, perderemos la conveniencia del concepto de producto vacío.

En matemáticas , un producto vacío , o producto nular , es el resultado de multiplicar sin factores. Es por convención igual a la identidad multiplicativa 1 (suponiendo que haya una identidad para la operación de multiplicación en cuestión), así como la suma vacía —el resultado de no sumar números— es por convención cero , o la identidad aditiva. [1] [2] [3]

…

Justificación [ editar ]

Deje que un 1, un 2, un 3, … sea una secuencia de números, y deje
ser el producto de los primeros m elementos de la secuencia. Entonces
para todos m = 1,2, … siempre que usemos las siguientes convenciones: y . En otras palabras, un “producto” con un solo factor evalúa a ese factor, mientras que un “producto” sin factores en absoluto se evalúa como 1. Permitir un “producto” con solo uno o cero factores reduce el número de casos a considerar en muchas fórmulas matemáticas. Dichos “productos” son puntos de partida naturales en pruebas de inducción , así como en algoritmos. Por estas razones, el “producto vacío es una convención” es una práctica común en matemáticas y programación de computadoras.
Relevancia de definir productos vacíos [ editar ]
La noción de un producto vacío es útil por la misma razón que el número cero y el conjunto vacío son útiles: si bien parecen representar nociones bastante interesantes, su existencia permite una presentación matemática mucho más corta de muchos temas.
Por ejemplo, los productos vacíos 0! = 1 yx 0 = 1 acortar la notación de la serie de Taylor (ver cero a la potencia de cero para una discusión cuando x = 0). Del mismo modo, si M es una matriz n × n , entonces M 0 es la matriz de identidad n × n .
Como otro ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética dice que cada entero positivo puede escribirse de manera única como un producto de números primos. Sin embargo, si no permitimos productos con solo 0 o 1 factores, entonces el teorema (¡y su prueba!) Se hace más largo. [4] [5]
Se pueden encontrar más ejemplos del uso del producto vacío en matemáticas en el teorema binomial (que supone e implica que x 0 = 1 para todas las x ), número de Stirling , teorema de König , tipo binomial , serie binomial , operador de diferencia y símbolo de Pochhammer .

Asumimos lo que hace que nuestras matemáticas sean más fáciles y al mismo tiempo lo mantienen consistente. Esta no es una práctica exclusiva de la función factorial. [Ej: Axioma de elección].

Pregunta / concepto y respuesta relacionados: la respuesta de Pooja Chauhan a ¿Por qué cero factorial (0!) Es igual a uno (1)?

Answer 9

Te falta el elemento de identidad de multiplicación que es 1, en cada una de tus operaciones.

[matemáticas] n ^ 3 = 1 \ veces n \ veces n \ veces n [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 2 = 1 \ veces n \ veces n [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 1 = 1 \ veces n [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Answer 10

Si piensa en ‘poder’ como ‘cuántas veces se multiplica’, como en ‘2 potencia 3 es 8’, no hay una buena respuesta. Incluso [2 al ½ es √2] es extraño: ¿cómo puede multiplicar la mitad de una copia de 2 por sí mismo, la mitad de las veces? Tienes que decir que [2 potencia A por 2 potencia B es 2 potencia A + B] es lo más importante: pero incluso eso no fija el valor que debe tener [2 potencia pi], que necesita límites y álgebra.
Es mejor darse cuenta de que el interés compuesto coincide con el álgebra, al menos cuando el álgebra tiene sentido. Si tiene una tasa de duplicación de 1 año, entonces N años cambia una inversión de X a [2 Nyrs de potencia] X, y seis meses deberían cambiar X a √2X, por lo que [2 power ½ años] debería ser √2, y así sucesivamente . Para tiempos irracionales, aproximados por racionales. Esto necesita cálculo (o ‘análisis’) para ser realmente preciso, pero espero que la idea sea clara.

Una vez que piense en [cualquier poder N] como el factor de multiplicación que obtiene invirtiendo durante N años, es razonable que [cualquier poder 0] sea la forma en que su dinero se multiplica invirtiéndolo por tiempo cero. Eso no lo cambia, por lo que su factor de aumento es 1, sea cual sea el ‘todo’.

Está bien llegar allí aplicando [2 potencia A por 2 potencia B es 2 potencia A + B] con B como -A, lo que hace la respuesta de Mayank, pero luego debes pensar por qué crees [2 potencia A por 2 potencia B es 2 potencias A + B] para todos los números posibles A y B, negativos y positivos. El interés compuesto le da un poco más para aferrarse.

Answer 11

Por convención, un producto vacío generalmente se define como la identidad multiplicativa.

Establecer [matemáticas] n ^ 0 = 1 [/ matemáticas] también hace que nuestras reglas típicas de producto / exponente sean coherentes y sensibles.

Answer 12

Tomé esta pregunta como una pregunta seria y honesta que requería ser respondida de manera útil sin tratar de embaucar al lector con matemáticas superiores complicadas.
Comenzaré con lo que entendemos que significa un índice
ejemplo b ^ 3 MEDIOS b X b X b
Luego estableceré cómo combinar índices cuando se multiplican (agregando los índices).
A continuación, estableceré cómo dividir los índices (restando los índices).
Esta “REGLA” se vuelve aparentemente “despegada” cuando el índice del numerador es menor o igual que el índice del denominador.
Aquí es donde ocurre el pensamiento real y todo se basa en la lógica básica.
Esta demostración muestra CLARAMENTE por qué b ^ 0 = 1
(El caso cuando b = 0 no está cubierto y necesita mucha más explicación)

Mi explicación completa se da en la siguiente versión de “imagen” debido a la dificultad de escribir índices en Quora.

Answer 13

Oye, recuerdo haber tenido esta pregunta hace tantos años cuando solía odiar las matemáticas.

Dado que le gustaría saber esto, supongo que también le gustaría saber por qué [matemáticas] n ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {n} ~ [/ matemáticas] o [matemáticas] ~ n ^ {-1} = \ frac {1} {n} [/ math]. Has venido al lugar correcto.

En primer lugar, déjame decirte que es definición. [matemática] n ^ 0 [/ matemática] se define como [matemática] 1 [/ matemática]. Pero tiene mucho sentido por qué se definió de esa manera. Pero esa es la pregunta después de todo, ¿no? ¿Por qué? ¿Por qué se define de esa manera?

En la escuela secundaria habrías aprendido que [matemáticas] a ^ m \ veces a ^ n = a ^ {m + n} [/ matemáticas], cuando myn son números enteros. Esto debería ser obvio por qué. Multiplicaríamos a sí mismo m veces y luego multiplicaríamos todo con otras n a’s; entonces, en total, habríamos multiplicado a consigo mismo m + n veces. Todo bien hasta ahora, ¿verdad? Vamonos.

Entonces, ¿cómo definimos [matemáticas] a ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]? Necesitamos definirlo ya que, de lo contrario, no está claro qué significa multiplicar a con sí mismo “medias veces”. ¿Pero cómo lo hacemos? ¿Qué queremos decir con tal cosa? Lo que sea que signifique, una cosa debe estar clara: [matemáticas] a ^ {\ frac {1} {2}} \ veces a ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas] debe ser igual, por lo anterior relación, con [matemáticas] a ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {2}} = a ^ 1 = a [/ matemáticas]. Básicamente, queremos que se mantenga la relación anterior, donde dijimos que los exponentes suman. Ahora [math] a ^ {\ frac {1} {2}} [/ math] es un número tal que cuando lo multiplicamos consigo mismo, obtenemos a, lo que significa [math] a ^ {\ frac {1} { 2}} [/ math] debe ser la raíz cuadrada de a. ¿No es eso genial?

Ahora, también tenemos otra relación para los exponentes: [matemática] \ frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {mn} [/ matemática]. Sería así porque n a’s en el denominador se cancelaría con n a’s en el numerador, dejando mn a’s. Si tuviéramos que extender esto, y supongamos que [math] n = m + 1 [/ math]. Entonces [matemáticas] a ^ {mn} = a ^ {- 1} [/ matemáticas]. Pero esto sucedería cuando se cancelen todas las a en el numerador y quede un a extra en el denominador. Si los exponentes deben restar de esta manera, debemos definir [matemáticas] a ^ {- 1} = \ frac {1} {a} [/ matemáticas].

Con todo lo anterior fuera del camino, llegamos a la pregunta original. ¿Cómo definimos [matemáticas] a ^ 0 [/ matemáticas]? Podríamos interpretar que esto significa [matemáticas] a ^ {mm} [/ matemáticas]. Significa que hay m a’s en el numerador y en el denominador. Todos se cancelarían entre sí. Entonces nos quedaríamos con 1. Lo que significa que deberíamos definir [matemáticas] a ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

Algunas palabras adicionales: para varios casos aquí, dije que definimos estas cosas porque queremos que el exponente sume y reste las reglas para preservar su forma. Entonces, tenemos una cierta fórmula que funciona para un par de casos. Queremos extenderlo de modo que funcione en otros lugares también y de esto se seguirán ciertos casos como los anteriores. Pero cada vez que nos encontramos con [matemáticas] a ^ 0 [/ matemáticas], ¿podemos estar seguros de que es [matemáticas] a ^ 0 [/ matemáticas] en el mismo sentido de restar numeradores? Descubrirá que es así. Pero, lo que es más importante, esto se hace muchas veces en matemáticas, donde ampliamos ciertas ideas que se aplican a algunos conjuntos para aplicarlas a otros también donde no se pudieron definir originalmente. Hacerlo provocará que surjan tales casos, aunque mirar esos casos por sí mismos parecería peculiar. Podría hablar mucho más sobre “extender el dominio de la aplicación”, pero creo que voy a detenerme con esto: cuando vea un resultado o una identidad que parezca peculiar, como la de la pregunta, podría beneficiarse al tratar de descubrir si se ampliaba el alcance de cualquier operador o se generalizaba cualquier concepto para aplicarlo a un espectro más amplio.

Answer 14

Veo que ya tenemos esa pregunta: ¿por qué un número elevado al poder cero es igual a uno?

Pero diablos, solo daré mi respuesta. Hasta ahora encontré tres razones, todas basadas en la convención. Elige uno que te parezca más convincente.

Razón 1
Recordemos la definición de exponenciación [matemática] a ^ b [/ matemática] donde [matemática] b [/ matemática] es un entero positivo. [matemáticas] a ^ b = a \ cdot a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a [/ math], donde [math] a [/ math] se repite [math] b [/ math] veces.

Ahora llamamos [math] a ^ {b + 1} = a \ cdot a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a [/ math]; sabemos que hay [matemáticas] b + 1 [/ matemáticas] de [matemáticas] a [/ matemáticas] allí. Ahora agrupamos los primeros [math] b [/ math] de ellos:

[matemáticas] a ^ {b + 1} = (a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a) \ cdot a [/ math]

Pero el producto de [math] b [/ math] de [math] a [/ math] ‘s es [math] a ^ b [/ math], entonces tenemos [math] a ^ {b + 1} = a ^ b \ cdot a [/ math].

Esta identidad es válida para todos los enteros positivos [matemáticas] b [/ matemáticas]. Pero, ¿qué sucede cuando conectamos [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]? El lado izquierdo está definido, por lo que también queremos definir el lado derecho. ¿Qué tenemos aquí?

[matemáticas] a ^ 1 = a ^ 0 \ cdot a [/ matemáticas]
[matemáticas] a = a ^ 0 \ cdot a [/ matemáticas]
[matemática] a ^ 0 = 1 [/ matemática] cuando [matemática] a \ neq 0 [/ matemática] (de lo contrario, no podemos cancelar más arriba)

Razón 2
Esto también se basa en la definición, pero funciona directamente en la definición en lugar de derivar la identidad anterior. Pero primero pasemos a otra cosa …

[matemáticas] x + 0 = x [/ matemáticas], estás de acuerdo, ¿verdad? Esto significa que [math] 0 [/ math] efectivamente no tiene efecto para las adiciones. Entonces, si cancelamos [math] x [/ math], el lado izquierdo tiene [math] 0 [/ math] mientras que el lado derecho no tiene nada que agregar. Esto significa que la suma de nada es 0. Esta es la convención de la suma vacía: la suma de nada (ningún término para sumar) es 0.

Del mismo modo, [matemáticas] x \ cdot 1 = x [/ matemáticas]. Cancelar [matemática] x [/ matemática] significa que el lado izquierdo tiene [matemática] 1 [/ matemática] mientras que el lado derecho no tiene nada que multiplicar. Entonces, el producto de nada es 1, que también es la convención del producto vacío.

Entonces, trabajando con la definición, si conectamos [matemática] b = 0 [/ matemática], el lado izquierdo tiene [matemática] a ^ 0 [/ matemática] mientras que el lado derecho no tiene nada que multiplicar, lo que significa que el derecho lado es igual a 1. Entonces [matemáticas] a ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

Razón 3
Otra razón más se basa en la definición de la exponenciación misma.

Los matemáticos acordaron definir la función de exponenciación, [matemática] \ text {exp} (x) [/ matemática], para que sea igual a lo que asumimos naturalmente como el poder de e. Entonces, [matemáticas] \ text {exp} (1) = e ^ 1 = e \ aproximadamente 2.71828 [/ matemáticas], y [matemáticas] \ texto {exp} (2) = e ^ 2 \ aproximadamente 7.38906 [/ matemáticas] . Esto tiene la ventaja de que podemos definir lo que significa por [math] \ text {exp} (\ pi) [/ math]; Si comenzamos con la definición de exponenciación como en la Razón 1, nos quedamos atrapados solo en exponentes racionales, por lo que no podemos definir lo que significa elevando a la potencia [matemática] \ pi [/ matemática]. (Pruébelo alguna vez 🙂) Además, los matemáticos también definen [matemáticas] \ text {exp} (0) = 1 [/ matemáticas]. Sí, la interpretación de enunciados matemáticos tiene que ver con las convenciones, pero los matemáticos intentan elegir las convenciones para que todas las demás convenciones (teoremas, etc.) puedan establecerse más claramente.

Entonces, ¿cómo definimos otros exponentes? Trabajamos con logaritmos. Sabemos que [math] a = e ^ {\ ln a} [/ math] de la definición de logaritmo natural (es el exponente tal que [math] e [/ math] elevado a este número da el argumento). También sabemos que para reales positivos [matemáticas] (a ^ b) ^ c = a ^ {bc} [/ matemáticas]. Entonces, si conectamos [matemáticas] a = e, b = \ ln a, c = b [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] a ^ b = (e ^ {\ ln a}) ^ b = e ^ {\ ln a \ cdot b} = \ text {exp} (\ ln a \ cdot b) [/ math]. Si [math] b = 0 [/ math], tenemos [math] a ^ 0 = \ text {exp} (\ ln a \ cdot 0) = \ text {exp} (0) = 1 [/ math].

Palabras de clausura
Al final, puede definir [matemáticas] a ^ 0 = 0 [/ matemáticas] para todas las [matemáticas] a [/ matemáticas], pero esto rompe un montón de fórmulas. Por ejemplo, [matemática] a ^ {b + c} = a ^ b \ cdot a ^ c [/ matemática] no funciona cuando [matemática] c = 0 [/ matemática] y [matemática] a, b \ neq 0 [/ math], porque [math] a ^ b \ neq 0 [/ math]. Por supuesto, puede cambiar aún más si desea mantener esa fórmula, pero pronto deberá definir que [matemáticas] a ^ b = 0 [/ matemáticas] para todas las [matemáticas] a, b [/ matemáticas] que es prácticamente sin sentido.

Answer 15

Esta es una excelente pregunta! Hay muchas maneras diferentes de pensarlo, pero aquí hay una: regresemos y pensemos qué significa un poder. Cuando elevamos un número a la enésima potencia, eso realmente significa que multiplicamos ese número por sí mismo n veces, por ejemplo, 2

2

= 2 * 2 = 4, 2

3

= 2 * 2 * 2 = 8, 3

4 4

= 3 * 3 * 3 * 3 = 81, y así sucesivamente. Entonces, cuando elevamos un número a la potencia cero, eso significa que multiplicamos el número por sí mismo cero veces, ¡pero eso significa que no estamos multiplicando nada en absoluto! Qué significa eso? Bueno, vayamos aún más atrás al caso más simple: la suma. ¿Qué sucede cuando no agregamos ningún número? Bueno, esperaríamos obtener cero, porque no estamos agregando nada en absoluto. Pero el cero es un número muy especial además: se llama identidad aditiva, porque es el único número que puede agregar a cualquier otro número y dejar el otro número igual. En resumen, 0 es el único número tal que para cualquier número x, x + 0 = x. Entonces, por este razonamiento, tiene sentido que si no se agrega ningún número devuelve la identidad aditiva, multiplicar ningún número en absoluto debería dar la identidad multiplicativa. Ahora, ¿cuál es la identidad multiplicativa? Bueno, es el único número que se puede multiplicar por cualquier otro número sin cambiar ese otro número. En resumen, la identidad multiplicativa es el número 1, porque para cualquier otro número x, 1 * x = x. Entonces, la razón de que cualquier número a la potencia cero sea uno es porque cualquier número a la potencia cero es simplemente el producto de ningún número, que es la identidad multiplicativa, 1.

Línea de Ciencias UCSB

Answer 16

Por definición.

Ninguna expresión tiene ningún significado hasta que decimos qué es. Primero definimos [math] x ^ n = \ underbrace {x \ cdot x \ cdots x} _ {n} [/ math]
cuando n es un número entero positivo. Observe que para dos números enteros positivos myn.

[matemáticas] x ^ {m + n} = x ^ m \ cdot x ^ n [/ matemáticas] (*)

Esta relación es tan útil que nos gustaría considerar si [math] x ^ r [/ math] se puede definir para otros números reales, manteniendo este principio intacto. Comencemos con cero. Si se quiere satisfacer la relación anterior, entonces sea cual sea [matemática] x ^ 0 [/ matemática], debemos tener

[matemáticas] x ^ 0 = x ^ {0 + 0} = x ^ 0 \ cdot x ^ 0 [/ matemáticas]

El único número real cuyo cuadrado es igual a sí mismo es cero o uno. Para poder

[matemáticas] x = x ^ 1 = x ^ {1 + 0} = x ^ 1 \ cdot x ^ 0 = x \ cdot x ^ {0} [/ matemáticas]

para mantener para un valor distinto de cero, necesitamos definir [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

Cualquier respuesta que tome (*) como se da y la use para derivar [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas] está usando lógica circular. (*) solo es verdadero a menos que [math] x ^ 0 [/ math] se defina como uno.

Answer 17

Para [math] k \ in \ {1,2,3, \ ldots \} [/ math], es fácil entender qué se entiende por [math] n ^ k [/ math]. Significa [math] n \ times n \ times \ ldots \ times n [/ math] donde hay exactamente [math] k [/ math] términos en el producto.

Pero para otros valores reales de [matemáticas] k> 0 [/ matemáticas], necesitamos una definición diferente de [matemáticas] n ^ k [/ matemáticas].

Una forma habitual de definir tal cosa es (para [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas]):
[matemáticas] n ^ k = e ^ {k \ ln n} [/ matemáticas]

con [matemáticas] \ ln n = \ int_ {x = 1} ^ n \ frac {dx} x [/ matemáticas]

Así que hemos relacionado tomar algo real arbitrario, [matemáticas] n [/ matemáticas], con una potencia para llevar un real particular, [matemáticas] e [/ matemáticas], a una potencia ligeramente diferente, [matemáticas] k \ ln n [/matemáticas]. Pero, ¿cómo lidiamos con [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] x \ in \ mathbb R [/ matemáticas] arbitrarias? Resulta que esto es igual al siguiente límite:

[matemáticas] e ^ x = 1 + \ lim_ {m \ to \ infty} \ sum_ {j = 1} ^ m \ frac {x ^ j} {j!} [/ matemáticas]

Es posible que haya visto esto escrito como:
[matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ ldots [/ matemáticas]

Así que ahora hemos relacionado llevar un número real arbitrario a un poder real positivo arbitrario a algo mucho más concreto. Solo necesitamos sumar una serie en la que cada término de la serie tenga [matemáticas] x ^ j [/ matemáticas] para algún entero positivo [matemáticas] j [/ matemáticas]. Y comenzamos esta respuesta señalando que sabemos exactamente lo que queremos decir cuando tomamos [math] x [/ math] al poder de algún entero positivo, [math] j [/ math]; significa multiplicación repetida de [matemática] x [/ matemática] por sí misma exactamente [matemática] j [/ matemática] veces.

Entonces, finalmente, podemos llegar a su respuesta …

[matemáticas] n ^ k = e ^ {k \ ln n} = 1 + \ left (k \ ln n \ right) [/ math] [math] + \ frac {\ left (k \ ln n \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {\ left (k \ ln n \ right) ^ 3} {3!} + \ Ldots [/ math]

Luego, al enchufar [math] k = 0 [/ math] se obtiene:

[matemáticas] n ^ 0 = e ^ {0 \ ln n} = 1 + \ left (0 \ ln n \ right) + [/ math] [matemáticas] \ frac {\ left (0 \ ln n \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {\ left (0 \ ln n \ right) ^ 3} {3!} + \ Ldots [/ math]

Así que finalmente:
[matemáticas] n ^ 0 = 1 + 0 + 0 + \ ldots = 1 [/ matemáticas]

Answer 18

Hay patrones muy distintos cuando se trata de exponentes.

La razón por la cual cualquier valor a la potencia cero es 1, se debe al patrón de exponentes crecientes y decrecientes sobre una base fija. Comencemos con el conjunto más fácil, los poderes de 2.

2 ^ 2 = 4

2 ^ 3 = 8

2 ^ 4 = 16

Ahora ya es fácil decir que este conjunto de números se duplica con cada exponente cada vez más grande. Esta tendencia también lleva consigo otras bases; un poder

con la base de 3 se triplicará con cada exponente creciente, y una potencia con la base de 4 se cuadruplicará, y así sucesivamente.

¿Qué pasa si bajamos?

2 ^ 3 = 8

2 ^ 2 = 4

2 ^ 1 = 2

2 ^ 0 = 1

2 ^ -1 = 1/2

2 ^ -2 = 1/4

Puede ver por este conjunto de ecuaciones, y se debe a que, debido a que es la función inversa de duplicar, este conjunto cambia a la mitad cada vez que disminuye el exponente. Nuevamente, esto es consistente en toda la notación exponencial. Los exponentes decrecientes con una base de 3 disminuirán en tercios, y una base de 4 disminuirá en trimestres. La única forma en que este patrón es posible es si algún valor de la potencia cero es igual a 1.

Answer 19

He respondido esta pregunta en otra pregunta,

Navegue por favor: la respuesta de Rajeev Kumar a ¿Qué es 493850945 ^ 0?

Saludos

Rajeev Kumar

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Answer 20

¿Por qué encuentras esto poco intuitivo en primer lugar? Porque 0 es el valor de una suma vacía. Y la adición fue lo primero que aprendimos. Como consecuencia, de alguna manera sentimos que 0 debe ser el “neutral absoluto” para todo.

Esto explica por qué no nos parece intuitivo cuando nos damos cuenta de que el valor neutral para la multiplicación es 1, o de manera equivalente, cualquier número elevado a 0 es 1, al igual que cualquier número multiplicado por 0 es 0.

Entonces, ¿qué es [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas]? Hemos aprendido que (a) cualquier cosa multiplicada por 0 es 0, y (b) cualquier cosa elevada a 0 es 1. ¿Es inconsistente cuando decimos que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] es 1? No, porque es un producto vacío, por lo que (a) ni siquiera tiene la oportunidad de solicitarlo en primer lugar. Entonces no hay inconsistencia o elección arbitraria aquí.

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