“Infinito” puede significar una serie de cosas: en particular, puede referirse tanto a un concepto general como a objetos matemáticos específicos con este como nombre.
El concepto general de infinito no se especifica con precisión, sino que se basa más o menos en la idea intuitiva de algo que “continúa para siempre” en algún sentido. Pero esta es una forma bastante limitada de pensar en ello porque algunos tipos de objetos “infinitos” tienen, en cierto sentido, un “fin”. Son como “infinitud con fines”, por extraño que parezca.
Pero tal vez se pueda considerar que una idea aproximada es que un objeto matemático es infinito si puede ser de alguna manera adecuada en comparación con los números naturales que alcanzas contando, y se encuentra que es mayor que cada uno de ellos. Esto, por supuesto, requiere una definición adecuada para hacer tal comparación. En este caso, podemos tratar, por ejemplo, el tamaño de los conjuntos: los conjuntos se comparan en tamaño al ver si hay una función inyectiva, surjectiva o biyectiva entre ellos. Si hay una función inyectiva de un conjunto a otro, es decir, una función que no asigna dos elementos del primer conjunto al mismo elemento del segundo, de modo que todos los elementos conservan su carácter distintivo después de que se aplica la función, entonces eso muestra que el segundo conjunto tiene al menos suficiente “espacio” para el primero, por lo que el segundo es “al menos tan grande” como el primero, escrito [matemáticas] | A | \ le | B | [/ math]. Del mismo modo, una surjección muestra la comparación “mayor o igual”, y la biyección (tanto inyección como suryección) muestra igualdad de tamaños.
Por lo tanto, podemos comparar el tamaño de cualquier conjunto con el tamaño de un conjunto cuyo tamaño es igual a un número natural dado (y, de hecho, usar un ejemplo canónico adecuado de dicho conjunto es una forma de definir los números naturales). Si todos los que se comparan como menor que (es decir, hay una función inyectiva de cada conjunto de tamaño de número natural al conjunto de prueba) del conjunto dado, entonces decimos que el tamaño del conjunto dado es mayor que cada número natural y, por lo tanto, debe ser infinito
Sin embargo, “infinito”, si se usa como un sustantivo para un objeto específico, a menudo significa algo bastante diferente a esto: generalmente se refiere a la adición de un punto [math] \ infty [/ math] a la recta numérica real en cualquiera de los dos o ambos extremos, de modo que cada número real positivo (y también cada número real, por transitividad), incluidos todos los números naturales, se comparen como “menor que” este punto (o todos los negativos mayores que, para un punto en el otro extremo de la línea, que se llamaría “infinito negativo”). En ese sentido, entonces, dada su pregunta original “¿es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] infinito?”, La respuesta es no. [matemática] \ pi \ ne \ infty [/ matemática] porque [matemática] \ pi <\ infty [/ matemática], y tricotomía, que aún se mantiene en este caso. Una línea de números reales equipada con este "número" adicional que, resulta que no se comporta como los otros números, se llama una línea de números reales extendida . Si solo se agrega un punto infinito (que en realidad hace que la línea se convierta en un círculo), se llama extendido proyectivamente , mientras que si se agregan dos (uno en cada extremo), se llama extendido por afinidad .
Sin embargo, sospecho que la verdadera intención de esta pregunta es preguntar “es la expansión decimal de [math] \ pi [/ math] infinite”, o, al menos, eso es lo que puede estar pensando en alguna parte. Esto es bastante diferente de decir que el número es infinito. Una expansión decimal es una forma de representar un número, no es el número en sí. (Lo que el número “realmente es” es más bien una pregunta filosófica más complicada. Pero se puede considerar como “esa cosa” que representan todas las diversas representaciones, aunque eso puede no parecer muy satisfactorio, al menos para algunos).
En ese caso, la respuesta es sí. [math] \ pi [/ math] es un número irracional (la prueba usa algún cálculo), lo que significa que no es equivalente a una razón [math] \ frac {p} {q} [/ math] de dos enteros. Los únicos números que pueden tener una expansión decimal finita son los de la forma [math] \ frac {p} {10 ^ n} [/ math] donde [math] p [/ math] es un número entero, como lo es [math] n [/ matemáticas]. Entonces [math] \ frac {1} {4} [/ math] tiene tal expansión, ya que es igual a [math] \ frac {25} {100} [/ math], por lo tanto [math] p = 25 [/ math ] y [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la expansión decimal de [math] \ pi [/ math] debe ser infinitamente larga (es decir, para conectarse a nuestra noción anterior, que si toma un segmento inicial con cualquier cantidad de dígitos de número natural, no tendrá el número completo expansión contenida en eso).
Pero es realmente muy importante marcar esa distinción entre la cosa representada y la representación. A muchos tratamientos simples de la cultura pop les gusta tratar la expansión decimal como si sus propiedades peculiares tuvieran algo que ver con el número en sí mismo, cuando, de hecho, en realidad no lo hacen, al menos en su mayor parte (aunque ya que en sí mismo sigue siendo un objeto matemático, es matemáticamente legítimo hacer preguntas matemáticas sobre esa representación. Eso no quiere decir, aunque no es divertido, por ejemplo, buscar el número de teléfono de su amigo en un billón de dígitos decimales, o nombres en la base. 26 (A … Z como dígitos) representaciones!). En cambio, uno debería pensar en el número como independiente de cualquier representación, si quiere ver el verdadero significado de [math] \ pi [/ math]. Y hay muchos de esos significados. Y [math] \ pi [/ math] aparece en algunos lugares bastante inesperados, por ejemplo, la identidad
[matemáticas] \ left (\ frac {1} {2} \ right)! = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ math]
relacionando el factorial de [math] \ frac {1} {2} [/ math] con la raíz cuadrada de [math] \ pi [/ math]. Esto se basa en una definición extendida de factorial conocida como la función Gamma que también involucra cálculo (un tipo específico de integral, más precisamente), y le permite insertar un número real como entrada. Hay varias maneras diferentes de entender este resultado. Uno de ellos es que está relacionado con el área bajo una curva de campana estándar, que a su vez puede resolverse mediante una integral simétrica circular, y que el bit “circular” produce [math] \ pi [/ math].