¿Hay infinitos números primos de la forma [matemática] p ^ 2-p + 1 [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática] también es un número primo?

Answer 1

Probablemente. Podemos aplicar el ingenuo modelo de Cramér, en el que pretendemos que un número n tiene probabilidad [matemática] \ frac {1} {\ log n} [/ matemática] de ser primo, para encontrar que (en el contexto de esta heurística) la la probabilidad de que tanto [math] n [/ math] como [math] n ^ 2-n + 1 [/ math] sean primos es aproximadamente [math] \ frac {1} {(\ log n) ^ 2} [/ math ] Como esta secuencia no tiene una suma finita, en otras palabras, [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(\ log n) ^ 2} = \ infty [/ math] —El lema de Borel-Cantelli nos dice que hay infinitos valores de [matemática] n [/ matemática] casi con seguridad (nuevamente, dentro del marco donde cada número es “primo” con probabilidad [matemática] 1 / \ log n [ /matemáticas]).

Además, el código (Julia)

  [sum (isprime (p) && isprime (p ^ 2-p + 1) para p = 1: 10 ^ n) para n = 1: 8]

devuelve la lista

  [3, 6, 21, 127, 695, 4764, 33850, 253868]

Esto sugiere que no hemos pasado por alto ningún problema de divisibilidad de números pequeños que invalidaría la aplicación del modelo Cramér. También es compatible con la opinión de que no hay escasez de tales números primos, aunque, por supuesto, no descarta la posibilidad de que el modelo Cramér arroje la respuesta incorrecta por razones más sutiles.

Estaré sorprendido, pero muy interesado, si obtenemos una respuesta concluyente a esta pregunta.

Answer 2

La primera parte de la pregunta se enmarca en la conjetura de Bunyakovski (desde 1857, por lo que cumple 160 años, aún sin resolver)

[matemáticas] n ^ 2-n + 1 [/ matemáticas] es el sexto polinomio ciclotómico por lo que está en la conjetura

Entonces, si la conjetura es correcta, hay infinitos números primos que se pueden expresar como este polinomio.

Creemos que esta conjetura es cierta, sin embargo, no tenemos un solo ejemplo de un polinomio de grado 2 o superior que tenga esta propiedad. Esto está diciendo lo poco que sabemos sobre los números primos.

Ahora, tu pregunta va un nivel por encima de ella. Pregunta si el conjunto de primos estrictos [matemática] p [/ matemática] para el cual [matemática] p ^ 2-p + 1 [/ matemática] es de nuevo primo es infinito.

Aunque esto no es cierto para todos los polinomios, la evidencia numérica muestra que aquellos que no tienen un requisito especial obvio para obtener un número impar, tienen números primos regularmente entre aquellos [matemáticos] n [/ matemáticos] para los cuales, en su caso, [matemáticas] n ^ 2-n + 1 [/ matemáticas] es primo.

Tal vez sea hora de una nueva conjetura, por lo que decimos que el número de tales primos es finito (para aquellos polinomios que no pueden devolver más que unos pocos primos ya que n siempre es un número compuesto, excepto por algunas pequeñas excepciones) o crece linealmente con número de primos hasta [math] n [/ math].

Hay una razón especial por la que podría ser necesaria esta linealidad. Hay fuertes evidencias de que los números primos en el infinito se comportan de manera aleatoria, no hay más que la probabilidad promedio que podemos decir sobre cada primo individual, todas las propiedades individuales se pierden gradualmente. Si es así, el número lineal de primos en las expresiones polinómicas que devuelven primos reflejaría esta aleatoriedad y falta de estructura en el infinito. Tener algo más que dependencia lineal revelaría cierta estructura dentro de los números primos. Lineal dice lo que podemos saber, y ese es el comportamiento promedio.

En los próximos 160 años, esperamos que alguien lo resuelva todo.

Answer 3

Dado que la comunidad matemática ha estado trabajando en [matemáticas] p + 2 [/ matemáticas] (la conjetura de los primos gemelos – http://mathworld.wolfram.com/Twi …) simplemente por edades … uno no debe contener la respiración esperando Una solución definitiva para la pregunta planteada aquí.

Answer 4

Estoy de acuerdo con Dirk. La pregunta permite el hecho de que no todos los números de la forma p ^ 2 -p + 1, donde p es primo, se primarán ellos mismos; simplemente pregunta si hay un número mayor que sea primo (así como no hay un primo p mayor). Como tal, creo (aunque no puedo probar) que la respuesta es “no”, por lo que hay infinitos números primos de ese tipo.

Answer 5

Mi suposición, basada en un fondo razonable en matemáticas, y el hecho de que hay un número infinito de números primos, es “sí”.