¿Cuál es el dígito unitario de 12 ^ 23 ^ 45? ¿Cuál es el método para encontrar poderes dobles?

Answer 1

Antes de resolver tales preguntas, debemos saber que el dígito de las unidades de cualquier exponente de cualquier número natural se repite después de cierto intervalo (generalmente después de aumentar el exponente en 4).

Para cualquier número con sus unidades dígito [matemático] 2 [/ matemático], esos dígitos son:
[matemáticas] 2 ^ {4n} \ rightarrow 2 [/ matemáticas]

[matemática] 2 ^ {4n + 1} \ rightarrow 4 [/ matemática]

[matemáticas] 2 ^ {4n + 2} \ rightarrow 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {4n + 3} \ rightarrow 6 [/ matemáticas]

Entonces, dejemos que nuestro número sea [matemáticas] p = 12 ^ {23 ^ {45}} = 12 ^ {q} [/ matemáticas]

Ahora tenemos que encontrar cuál es el resto de [matemática] q [/ matemática] cuando se divide por [matemática] 4 [/ matemática] para encontrar el dígito de unidades de [matemática] p [/ matemática]

Después de observar los dos últimos dígitos de unos pocos exponentes de [matemáticas] 23 [/ matemáticas]

[matemáticas] 23 ^ 1 \ rightarrow 23 = 4a + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 23 ^ 2 \ rightarrow 29 = 4b + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 23 ^ 3 \ rightarrow 67 = 4c + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 23 ^ 4 \ rightarrow 41 = 4d + 1 [/ matemáticas]

Entonces de esto podemos concluir:
[matemáticas] 23 ^ {2n} \ bmod 4 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 23 ^ {2n + 1} \ bmod 4 = 3 [/ matemáticas]

[math] \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math]

Es decir, cada potencia impar de [matemática] 23 [/ matemática] nos dará el resto [matemática] 3 [/ matemática] cuando se divide entre [matemática] 4 [/ matemática] y cada potencia de poder par nos dará el resto [matemática] 1 [ / matemáticas] cuando se divide por [matemáticas] 4 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ rightarrow p = 12 ^ {4k + 3} [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] El dígito de las unidades en p es [matemática] 8 [/ matemática]