Usando la expansión binomial, [matemática] 12 ^ {91} o (13–1) ^ {91} [/ matemática] puede expandirse como
[matemáticas] 12 ^ {91} = \ binom {91} {0} \ cdot (13) ^ {91} (- 1) ^ 0 + \ binom {91} {1} \ cdot (13) ^ {90} (-1) ^ 1 + \ cdot + \ binom {91} {89} \ cdot (13) ^ 2 (-1) ^ {89} + \ binom {91} {90} \ cdot (13) ^ 1 ( -1) ^ {90} + \ binom {91} {91} \ cdot (13) ^ 0 (-1) ^ {91} [/ math]
[matemáticas] 12 ^ {91} = K \ cdot 13 ^ 2 + 91 \ cdot 13 – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 12 ^ {91} \ equiv (- 1) \ bmod (169) [/ matemáticas]
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De manera similar, [math] 14 ^ {91} [/ math] puede expresarse usando la expansión binomial
[matemáticas] 14 ^ {91} = L \ cdot 13 ^ 2 + 91 \ cdot 13 + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 14 ^ {91} \ equiv (1) \ bmod (169) [/ matemáticas]
[matemáticas] 12 ^ {91} + 14 ^ {91} \ equiv (-1 + 1) \ bmod 169 \ equiv 0 \ bmod 169 [/ matemáticas]