En matemáticas superiores, ¿cuál es la diferencia entre la suma y la multiplicación (multiplicación y suma de cosas que no son números)?

Answer 1

Como muchos otros han dicho, la propiedad distributiva es la principal diferencia; es decir que queremos [matemáticas] a * (b + c) = ab + ac [/ matemáticas] y [matemáticas] (a + b) * c = ac + bc [/ matemáticas]

Otra posible diferencia se ve en la estructura de los anillos, donde requerimos que la suma sea conmutativa (donde [matemáticas] a + b = b + a [/ matemáticas]), pero no necesitamos multiplicación para hacer lo mismo, junto con que requiere una identidad aditiva e inversa aditiva para todos los elementos del anillo. *

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De todos modos, ninguna definición realmente importa, ya que tanto la suma como la multiplicación son solo operaciones binarias ** que necesitamos para mantener propiedades especiales, es decir, como dichas propiedades hacen que se comporten como lo hacen con los números. Si realmente quisiéramos, la propiedad distributiva podría verse así:

[matemáticas] (a * b) + c = a + c * b + c [/ matemáticas] y [matemáticas] a + (b * c) = a + b * a + c [/ matemáticas]

Y estoy seguro de que eso mató tus ojos, ya que me mató simplemente escribiéndolo. Esa es la razón exacta por la que les exigimos que se comporten como lo hacen, de lo contrario, acudiríamos a otros símbolos para dichas operaciones y los nombraríamos de manera diferente.

Al final, la suma y la multiplicación son solo operaciones binarias que limitamos con ciertas restricciones para que sean lo suficientemente agradables.

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* Si las referencias a los anillos se te pasaron por la cabeza, aprenderás sobre ello en una clase de álgebra de nivel superior.

** Una operación binaria es solo una función que toma dos entradas y da una salida. Por ejemplo, suma de números, o +. + toma dos números x e y y te da otro número z.

Answer 2

Cuando pones números de manera adecuada, estos números pueden ser series, o números algebraicos o trascendentales, o vectores de números, y muchos más, tienes suma o multiplicación.

Pero esta no es una buena pregunta, por dos razones: a) porque es mejor entender el contexto, y luego sabes cuál es el significado. De lo contrario, puede confundirse: tiene, por ejemplo, una adición de conjuntos geométricos, que ciertamente no se puede reducir a operaciones en números de ningún tipo. b) Los matemáticos tienen la manera de pensar formalmente y no tienen problemas para “escribir un grupo multiplicativo de forma aditiva”, por varias razones prácticas. Entonces puede confundirse bastante si se apega a su deseo de recurrir nuevamente a las operaciones con números.

Ah, hay varias razones más, como por ejemplo la adición de puntos en curvas, etc., etc. La moraleja de la historia: comprender primero el significado de la operación en su contexto dado, y bien. ¡Entonces puedes preguntarte por qué está escrito de esta manera u otra!

Answer 3

Yo diría que la diferencia se destaca por la definición de la conexión entre las dos operaciones, a saber, la ley distributiva. Es a * (b + c) = a * b + a * c, pero no puede hacer nada con a + b * c.

Answer 4

Si tenemos una estructura con 1 operación, entonces son esencialmente las mismas. Se prefiere el signo de suma cuando hablamos de las estructuras conmutativas (aquellas que satisfacen [matemáticas] a + b = b + a \ forall a, b [/ matemáticas]

Si la operación es asociativa, se llama semi grupo. Si tenemos un elemento neutral adicionalmente se llama monoide. Si tenemos [math] -a [/ math] o [math] a ^ {- 1} [/ math] se llama grupo.

En cuanto a las estructuras con 2 operaciones, a menudo asumimos:

[matemáticas] a (b + c) = ab + ac [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) c = ac + bc [/ matemáticas]

Si ambos están satisfechos, la estructura se llama semi-anillo. Si se trata de un grupo adicional, lo llamamos anillo.

Si solo una ley de distribución funciona y es un grupo por adición, la llamamos casi anillo.

Answer 5

Vamos a limpiar esta pregunta primero.

¿Las variables cuentan como “cosas que no son números”?

La multiplicación puede considerarse como una suma larga, es decir, cuántas veces aparece una cantidad como término al agregarse.

5x = x + x + x + x + x si entiendo tu premisa.

Si los términos no son iguales, no hay forma de “multiplicar” los términos para acelerar este proceso, por ejemplo, x, y y z no son iguales, por lo tanto,

x + y + z no se puede multiplicar para llegar a x + y + z