¿Qué es un número complejo, en términos simples?

Answer 1

En términos laicos, un número complejo es una operación que combina escala y rotación.

Por ejemplo, “Girar 90 grados” es un número complejo, como “Crecer 7 veces más grande”, como “Girar 90 grados Y crecer 7 veces más”. Otros números complejos son similares, pero giran en diferentes ángulos o crecen en diferentes proporciones.

Los números complejos vienen con una aritmética, de la misma manera que las operaciones suelen hacerlo. Realizar una operación tras otra se considera multiplicar las operaciones juntas. Realizar operaciones en paralelo y luego colocar los resultados de extremo a extremo se considera una suma (por ejemplo, “Girar 90 grados” + “Permanecer como está” es “Crecer por un factor de [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemática] y gire 45 grados “, ya que si toma un palo puntiagudo, haga otra copia que gire 90 grados y luego coloque los dos extremos, el resultado tiene los mismos puntos de inicio y finalización que un palo [matemáticas] \ sqrt { 2} [/ math] veces más grande que su palo original y girado 45 grados; esto puede sonar como trigonometría, lo que debería ser, porque la trigonometría es, de hecho, lo mismo que el estudio de la escala y la rotación).

[La razón por la que los llamamos “multiplicación” y “suma” es porque resultan que los números complejos se comportan de manera muy parecida a los números más familiares (la multiplicación se distribuye sobre la suma, etc.). Por supuesto, incluso si no lo hicieran, aún podríamos hablar sobre los mismos conceptos, solo usando diferentes nombres.]

Hay otras formas de ver números complejos. Una de las observaciones más importantes es que un giro de 180 grados actúa como [matemática] -1 [/ matemática] y, por lo tanto, un giro de 90 grados actúa como una raíz cuadrada de [matemática] -1 [/ matemática]. Esto significa que los números complejos también se pueden considerar en términos puramente algebraicos, como una forma de estudiar las raíces cuadradas de [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

De hecho, la idea que uno finalmente tiene es que todo lo que queremos decir cuando hablamos de “rotación” es ciertos conceptos algebraicos que resultan ser muy familiares e intuitivos para nosotros (incluso si no los reconocemos ordinariamente como álgebra) porque suceden para ser entretejido en las leyes físicas de nuestro universo particular.

En resumen: los números complejos describen la aritmética de la rotación, que también se conoce con el nombre de “trigonometría”. Esto resulta ser lo mismo que la aritmética con una raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas], pero pensar en términos de rotación es probablemente más intuitivo y familiar para la mayoría de los laicos que pensar en términos de raíces cuadradas de [matemáticas] ] -1 [/ matemáticas].

Answer 2

¿Qué es un número complejo?

El laico probablemente piensa que entiende lo que es un número, por lo que podemos definir un número complejo como un par ordenado de números [matemática] (a, b) [/ matemática] a menudo escrita [matemática] a + ib [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ quad (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) [/ matemáticas]

y

[matemática] \ quad (a, b) \ veces (c, d) = (ac-bd, ad + bc) [/ matemática]

Con estas definiciones, vemos que

[matemáticas] \ quad (0,1) \ veces (0,1) = (- 1,0) [/ matemáticas]

o

[matemática] \ quad \ sqrt {(- 1,0)} = (0,1) [/ matemática] a menudo escrita [matemática] \ sqrt {-1} = i [/ matemática]

Para algunos laicos, parece bastante mágico que pueda haber un número que se pueda elevar al cuadrado para darle menos uno, y pueden oponerse a las fórmulas utilizadas para definir la suma y la multiplicación.

Sin embargo, tenga en cuenta que una fracción es un par ordenado de números [matemática] (p, q) [/ matemática] a menudo escrita [matemática] \ frac {p} {q} [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ quad (p, q) + (r, s) = (ps + rq, qs) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ quad (p, q) \ veces (r, s) = (pr, qs) [/ matemáticas]

Con estas definiciones, vemos que

[matemáticas] \ quad (1,4) + (1,6) = (10,24) [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ quad \ frac14 + \ frac16 = \ frac {10} {24} = \ frac5 {12} [/ matemáticas]

El último paso, de simplificar la fracción, con el máximo común divisor crea una clase de equivalencia de fracciones que define los números racionales, [math] \ mathbb {Q} [/ math]. La necesidad de hacer esto hace que la definición de números racionales sea más compleja que la definición de números complejos …

Los matemáticos continúan definiendo números aún más complicados. Por ejemplo, un Quaternion es un cuarteto ordenado de números [matemática] (a_0, a_1, a_2, a_3) [/ matemática] a menudo escrita [matemática] a_0 + a_1i + a_2j + a_3k [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ quad (a_0, a_1, a_2, a_3) + (b_0, b_1, b_2, b_3) = (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) [/ math]

y

[matemáticas] \ quad (a_0, a_1, a_2, a_3) \ times (b_0, b_1, b_2, b_3) = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ quad (a_0b_0-a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3, [/ math]

[matemáticas] \ quad \ quad a_0b_1 + a_1b_0 + a_2b_3-a_3b_2, [/ math]

[matemáticas] \ quad \ quad a_0b_2 + a_2b_0 + a_3b_1-a_1b_3, [/ math]

[matemáticas] \ quad \ quad a_0b_3 + a_3b_0 + a_1b_2-a_2b_1) [/ matemáticas]

Con estas definiciones, vemos que

[matemáticas] \ quad (-1,0,0,0) = (0,1,0,0) ^ 2 = (0,0,1,0) ^ 2 = (0,0,0,1) ^ 2 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ quad-1 = i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 [/ matemáticas]

y ahora tenemos tres raíces cuadradas diferentes de menos uno.

En esta etapa, el laico definitivamente verá que los números complejos no son tan complejos después de todo y, tal vez, se preguntará qué es exactamente un número . Si es así, habrán comenzado el viaje de laico a matemático …

Answer 3

Aquí hay una cosa que muchas personas nunca aprenden acerca de los números: los números incluyen una dirección y una cantidad. Hace mucho tiempo, los números no podían representar la dirección. Luego los matemáticos comenzaron a usar el signo “-” para representar números que van hacia atrás.

Los números complejos son útiles porque resulta que en la vida real hay más de una dimensión. Una vez que permita que los números tengan una dirección, también podrían ser multidimensionales. Los números complejos son simplemente números con dos dimensiones de dirección. La suma es simple porque es simplemente la suma de vectores. La verdadera magia viene cuando tratas de decidir qué significa multiplicar dos números con múltiples dimensiones. Hay diferentes formas de hacerlo. Los matemáticos decidieron que la multiplicación compleja debería significar que multiplicamos la magnitud de los dos números (distancia desde el origen) y agregamos el ángulo de las direcciones.

Así que ahí estás. ¿Por qué -1 tiene una raíz cuadrada? Porque si giras 90 grados dos veces terminas mirando hacia atrás.

Es posible agregar más dimensiones a los números (ver cuaterniones) pero las reglas de multiplicación no siempre salen bien.