¿Cómo pueden los números complejos describir sistemas / fenómenos físicos? Las cantidades reales están representadas, entonces, ¿por qué entra la raíz cuadrada de -1?

Answer 1

Exactamente de la misma manera que cualquier abstracción matemática describe fenómenos físicos: por un isomorfismo de modelado. No hay nada particularmente especial sobre los números complejos a este respecto.

Una teoría física es un modelo matemático que propone un isomorfismo entre entidades matemáticas y entidades físicas correspondientes. Esto es tan cierto para contar ovejas como para usar números complejos para modelar la impedancia o los valores de campo cuántico. Tomas algunas observaciones, las mapeas en el modelo, haces algunas matemáticas y vuelves a mapear el resultado como una predicción en la realidad.

Tome dos ovejas de un corral y colóquelas en un corral que contenga cinco ovejas. Predigo que el corral ahora contendrá siete ovejas. Tenga en cuenta que incluso las observaciones iniciales están asignando algo en realidad a nuestro modelo (de números naturales), y hacemos el mapeo inverso para verificar nuestra predicción. Esto puede parecer tan natural como para evitar el modelado, pero fundamentalmente no lo hace.

Los números complejos están lejos de ser la abstracción matemática más compleja (como en el adjetivo complicado) utilizada para modelar la realidad. Pero las personas rara vez cuestionan la existencia de Grupos o Espacios Topológicos en la forma en que cuestionan la existencia de [math] \ sqrt {-1} [/ math]. Es una de las razones por las que creo que un nombre técnico como Cardanean [1] sería un mejor nombre para [math] \ mathbb C [/ math].

Las personas creen erróneamente que saben lo que son los llamados números reales. La estructura [math] \ mathbb R [/ math] ha demostrado ser muy útil para modelar la realidad, pero ciertamente no es real (físicamente). Vea, por ejemplo, mi respuesta a ¿Con qué facilidad puede un estudiante inteligente de la escuela desacreditar los números positivos reales (algebraicos y trascendentales)? Es esta comprensión errónea lo que hace que [math] \ sqrt2 [/ math] parezca estar bien, pero [math] \ sqrt {-1} [/ math] parece una invención loca de matemáticos puros. De hecho, tienen un estado epistemológico muy similar: ambos son inventos locos [matemáticas] \ ddot \ smallsmile [/ matemáticas]

Por cierto, [math] \ mathbb C [/ math], no es solo el espacio vectorial [math] \ mathbb {R \ times R} [/ math]. Tiene una estructura multiplicativa crucial que lo convierte en un campo, justifica llamarlos “números” y conduce al teorema fundamental del álgebra.

Notas al pie

[1] La respuesta de Alan Bustany a ¿Qué propones como mejores nombres para los números “reales” y “complejos”? ¿Con qué nombres podríamos reemplazarlos en los próximos siglos?

Answer 2

Los números complejos se usan mucho porque pueden simplificar mucho los cálculos. Le permiten transformar funciones trigonométricas en funciones exponenciales . ¿Esperar lo?

Los fenómenos periódicos, como las ondas, la electricidad de CA y otros, generalmente se expresan con funciones trigonométricas, es decir, [matemáticas] \ sen [/ matemáticas], [matemáticas] \ cos [/ matemáticas] y amigos. Sin embargo, son una pesadilla para operar y pueden causar una carga real al moverlos, integrarse, derivar y operar con ellos. Sin embargo, se descubrió hace mucho tiempo (no estoy seguro cuándo) que, junto con la raíz cuadrada de -1 , pueden formar una función: [matemática] \ nombre de operador {cis} x = \ cos x + i \ sin x [/matemáticas]. Entonces, ¿qué tiene de “mágico”?

Bueno, ambas reglas de suma ([matemáticas] \ cos \ left (x + y \ right) = \ cos x \ cos y – \ sin x \ sin y [/ math] y [math] \ sin \ left (x + y \ right) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y [/ math]) da la propiedad [math] \ operatorname {cis} \ left (x + y \ right) = \ operatorname {cis} x \ operatorname {cis} y [/ math], que muestra que [math] \ operatorname {cis} [/ math] es realmente una función exponencial disfrazada. El cálculo adicional muestra que es un exponencial de base [matemáticas] e ^ i [/ matemáticas].

Esta notación compleja se volvió realmente importante en el análisis de circuitos de CA, porque se demostró que, cuando se piensa que el voltaje es el componente real de un vector complejo que varía en el tiempo con [math] \ operatorname {cis} [/ math] (es decir, un fasor ), como [math] V = \ Re \ left \ {\ hat V \ operatorname {cis} \ left (\ omega t \ right) \ right \} [/ math], influencias de componentes pasivos como condensadores e inductores, que requeriría ponerse su sombrero de ecuación diferencial, puede representarse fácilmente componiendo impedancias (que son la contraparte compleja de la resistencia) utilizando las mismas leyes utilizadas en el análisis de circuitos de CC con resistencias.

En realidad, solo mencioné un uso de números complejos en física, pero hay muchos otros. Vea las transformadas de Laplace y Fourier, y sus usos en el procesamiento de señales digitales y otros campos.

Answer 3

Bueno, los números complejos son solo pares ordenados de números reales con reglas particulares para sumar y multiplicar. Tan complejo no es menos “real” que real. Si encontramos una situación física descrita por pares de reales que se multiplican y suman de estas formas particulares, entonces ¿por qué no usar notación compleja? No te obsesiones con la raíz cuadrada de -1 cosa. Es solo un artefacto del estilo particular de multiplicación.

Resulta que las señales sinusoidales pueden descomponerse en estados básicos de la misma frecuencia pero con separación de fase de 90 grados (seno y coseno) cuyas amplitudes se combinan como los pares ordenados de un número complejo. Esto hace que los números complejos sean bastante útiles para el análisis de señales, ecuaciones de onda, mecánica cuántica, etc. Así que hay un grupo de situaciones en las que tiene sentido usar números complejos.

Answer 4

Describe un vector.

Si los reales positivos pueden describir distancias al este de un punto de origen, y los reales negativos describen distancias al oeste, entonces los números imaginarios pueden describir distancias norte-sur.