Creo que te refieres a [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {7 ^ {n!}} [/ Matemáticas]
Digamos que el límite es [matemática] \ frac {p} {q} [/ matemática], para la integral [matemática] p [/ matemática] y la integral positiva [matemática] q [/ matemática]. Solo por una vez, no importa los factores comunes.
[El siguiente argumento es “sonido accidental”. Si desea una presentación más ordenada y menos engañosa, salte a la NOTA POSTUMOSA más adelante.]
Elija un número entero [math] r [/ math] tal que [math] r \ geq \ log_7 (q) [/ math], y considere la suma parcial [math] s_r [/ math] hasta e incluyendo el término en [ matemáticas] r! [/ matemáticas].
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La idea es mostrar que no podemos estar tan cerca de [math] \ frac {p} {q} [/ math] después de todo, por lo que la cola de la serie es demasiado pequeña para compensar la diferencia.
La suma parcial [math] s_r [/ math] claramente tiene un denominador común de [math] 7 ^ {r!} [/ Math], y el numerador tiene el resto 1 al dividir por 7. por lo que el denominador común también es el mínimo denominador común (no es que yo use eso). La diferencia [matemática] \ frac {p} {q} – s_r [/ matemática] es [matemática] \ geq 0 [/ matemática] (y las sumas parciales posteriores son demasiado grandes), o al menos [matemática] \ frac { 1} {q \ 7 ^ {r!}} [/ Math]. Entonces, las únicas soluciones posibles satisfacen esta última desigualdad.
Sin embargo, considere la suma de la cola de la serie (es decir, la suma de la serie menos [math] s_r [/ math]).
El siguiente término será más pequeño en un factor [matemático] 7 ^ {- (r + 1)} \ leq \ frac {1} {7q} [/ matemático], y la relación entre términos consecutivos será más pequeña. Los términos en la cola están dominados por una serie geométrica de razón común [matemáticas] \ frac {1} {7 ^ {(r + 1)}} `[/ matemáticas], cuya suma es
[matemáticas] \ frac {1} {7 ^ {r + 1} 7 ^ {r!}} \ frac {1} {7 ^ {r + 1} – 1} <= \ frac {1} {7q 7 ^ {r!} (7q – 1)} <\ frac {1} {42 q ^ 2 7 ^ {r!}} <= \ frac {1} {42q} \ frac {1} {q \ 7 ^ {r !}}[/matemáticas]
Pero esto es (típicamente MUCHO) menos que la diferencia que necesitamos para nuestra desigualdad. Entonces el límite no puede ser racional.
NOTA POSTUMOSA:
El argumento es válido por algo cercano a un feliz accidente. Estaba tratando [math] 7 ^ {r!} [/ Math] como [math] 7 ^ {\ frac {r (r + 1)} {2}} [/ math]; es decir, el exponente es la suma de los números naturales hasta [math] r [/ math], no el producto.
Caminando un poco por las casas, puedo llegar de la siguiente manera.
Si puedo obtener una suma parcial de la serie igual a [math] \ frac {p} {q} [/ math], siempre que los siguientes términos definitivamente no sumen cero, [math] \ frac {p} {q} [/ math] no puede ser el límite.
Si puedo obtener una suma parcial con el denominador [math] s [/ math], no igual a [math] \ frac {p} {q} [/ math], entonces debe diferir de al menos [math] \ frac {1} {qs} [/ math]; y si los siguientes términos definitivamente suman menos de esto en magnitud (o la suma tiene el signo incorrecto), entonces nuevamente [matemáticas] \ frac {p} {q} [/ matemáticas] no es el límite.
Es suficiente que haya algún término con las siguientes propiedades:
- Se puede expresar en la forma [math] \ frac {1} {s} [/ math] para algún entero (¡distinto de cero!) [Math] s [/ math].
- La suma de los términos anteriores multiplicada por [math] s [/ math] es un número entero.
- La suma al infinito de los siguientes términos no es cero, y su magnitud es menor que [math] \ frac {1} {sq} [/ math]
Las dos primeras condiciones se dan sin esfuerzo para la serie especificada, para cada término individual. Solo el último necesita un poco de trabajo. Es suficiente para que los términos que comienzan con [matemática] \ frac {1} {s} [/ matemática] estén dominados en magnitud por una progresión geométrica de razón común [matemática] \ frac {1} {q + 1} [/ matemática ], con no todos los términos cero y todos los términos distintos de cero tienen el mismo signo. De nuevo, la mayor parte de esto es instantáneo; solo es cuestión de encontrar por dónde empezar, para garantizar el dominio del GP
En este caso, necesitamos [matemáticas] 7 ^ {(r + 1)!}> (Q + 1) 7 ^ {r!} [/ Matemáticas]
[matemáticas] r \ geq 2 \ implica 7 ^ {(r + 1)!} \ geq 7 ^ {2.r!} [/ matemáticas] y es suficiente para tener (adicionalmente) [matemáticas] 7 ^ {r!} > q + 1 [/ matemáticas]. En realidad, uno puede salirse con la igualdad aquí, porque eventualmente los términos se reducen más rápido que el GP, y solo necesitamos un término estrictamente menos.
Ahora tenemos todas las condiciones, siempre que [math] r \ geq 2 \ wedge 7 ^ {r!} \ Geq q + 1 [/ math], y obviamente podamos elegir [math] r [/ math] lo suficientemente grande ; [matemáticas] r = q + 1 [/ matemáticas] servirá.