¿Probar por inducción matemática que cada [matemática] n \ geq2 [/ matemática], n es un número primo o un producto de números primos?

Answer 1

Claramente, cada número primo satisface esta condición de inmediato, por lo que los números primos son casos básicos para el proceso de inducción.

Supongamos que la hipótesis inductiva es: cada número entero [matemática] k [/ matemática] que satisface [matemática] 2 \ leq k \ leq n [/ matemática] es primo o algún producto de primos.

Considere el número entero [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas]. Si [math] (n + 1) [/ math] es primo, entonces hemos terminado. Si no, entonces es igual a algún producto [matemática] pq [/ matemática], donde tanto [matemática] p [/ matemática] como [matemática] q [/ matemática] son ​​números entre [matemática] 2 [/ matemática] y [matemáticas] n [/ matemáticas]. Luego podemos aplicar la hipótesis inductiva tanto en [math] p [/ math] como [math] q [/ math], concluyendo que cada uno de ellos es primo o algún producto de primos. Entonces [math] pq = n + 1 [/ math] es el producto de al menos dos primos.

La inducción está completa.

Answer 2

El número primo debe cumplir las dos condiciones siguientes,

1. n no tiene divisor excepto 1 y sí mismo
2. n> 1

[matemáticas] \ displaystyle n \ geq 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Para demostrar que n es un número primo o un producto de primos.

O n es un primo on no es un número primo (llamados números compuestos). Los números compuestos se producen por producto de primos.

Posibilidad 1:

Si n es un número primo. Entonces, no hay nada que podamos probar. Esto es muy sencillo.

Posibilidad 2:

Supongamos que n no es un número primo. Entonces, sabemos que existe un divisor p tal que está entre 1 yn . [matemática] 1

p es k . Sabemos que k debe ser un primo de cualquier poder y no puede ser [math] 1 [/ math]. Si hay otro divisor mínimo o simplemente divisor para k, digamos q tal que k sea producido nuevamente por un producto de primos. Esto va a contradecir lo que hemos dicho anteriormente. Entonces, debemos tener k como primo. No puede ser un no primo.

Eso completará la prueba de que [math] \ displaystyle n \ geq 2 \ tag * {} [/ math] es un primo o un producto de primos.

Tenemos un teorema que establece que cada entero positivo mayor que 1 es un producto de primos.

Answer 3

n es un número primo o no lo es.

Si n no es un número primo, entonces es un número compuesto y puede factorizarse.

n es, por lo tanto, un producto de los factores.

Los factores son números primos u otros números compuestos que a su vez pueden factorizarse.

Continúe hasta que los factores sean números primos.

Por lo tanto, todos los números (n> = 2) son primos del producto de dos o más números primos.