Tratando de recordar el cálculo de la escuela secundaria, bajo límites, descubrí que infinito menos infinito es indeterminado. ¿Qué pasa con infinito más infinito? Si hay una diferencia, ¿por qué? Pensé que la resta es solo suma, invertida.

Answer 1

Un gran número agregado a un gran número es un gran número. Un número grande restado de un número grande podría ser un número grande, un número pequeño o incluso un número negativo. Cuando vemos [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow a} f (x) = \ infty [/ math], lo que estamos diciendo es que a medida que [math] x [/ math] se acerca más y más a [math ] a [/ math], [math] f (x) [/ math] crecerá sin límite, es decir, se vuelve “grande”.

Si tanto [math] f (x) [/ math] como [math] g (x) [/ math] son ​​funciones que crecen sin límite cuando [math] x [/ math] se acerca a un límite, entonces su suma [math] f (x) + g (x) [/ math] necesariamente será mayor que cualquiera de las funciones a medida que [math] x [/ math] se acerca a ese límite y, por lo tanto, también crecerá sin límite. Sin embargo, saber que cada uno crece individualmente sin límites no nos dice qué sucederá con su diferencia. Aquí hay algunos ejemplos simples.

Ejemplo 1: [matemáticas] f (x) = 2x, g (x) = x [/ matemáticas]

En este caso, como [math] x \ rightarrow \ infty [/ math], es decir, como [math] x [/ math] crece sin límite, está claro que tanto [math] f (x) [/ math] como [ matemáticas] g (x) [/ matemáticas] también crecen sin límite. Sin embargo, si miramos el límite de su diferencia, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (f (x) -g (x)) = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (2x-x) [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} x [/ math]

[matemáticas] = \ infty [/ matemáticas]

Ejemplo 2: [matemáticas] f (x) = x + 1, g (x) = x [/ matemáticas]

Nuevamente, tanto [math] f (x) [/ math] como [math] g (x) [/ math] van al infinito como [math] x \ rightarrow \ infty [/ math], pero esta vez obtenemos un finito límite al mirar su diferencia.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (f (x) -g (x)) = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (x + 1-x) [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} 1 [/ math]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Ejemplo 3: [matemáticas] f (x) = x, g (x) = 2x [/ matemáticas]

Una vez más, tenemos [math] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] yendo al infinito como [math] x \ rightarrow \ infty [/ math], pero ahora el límite de su diferencia disminuye sin límite.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (f (x) -g (x)) = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (x-2x) [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} -x [/ math]

[matemáticas] = – \ infty [/ matemáticas]

Entonces, aunque la suma de dos funciones que van al límite infinito (un caso [math] \ infty + \ infty [/ math]) también debe ir al infinito, su diferencia (un [math] \ infty- \ infty [/ math] caso) podría ser cualquier cosa, por lo que es indeterminado.

Answer 2

No pienses en “infinito” como un número.

Los números de conteo 1, 2, 3, … seguir por siempre. Piense en esta idea como “infinito”.

Ahora considere los números pares 2, 4, 6, 8, … Estos continúan para siempre, así que los Evens también son infinitos.

Ahora considere los números impares 1, 3, 5, 7, … ¡Estos continúan para siempre también, por lo que las Probabilidades también son infinitas!

Si suma los eventos y las probabilidades, ¡solo obtendrá los números de conteo!

2, 4, 6. 8, … .. y 1, 3, 5, 7, … se convierten en 1,2,3,4,5, …

Esto es como decir “infinito” más “infinito” es “infinito”.

Si resta todos los números impares de los números contados, ¡simplemente termina con los números pares! ¿Adivina qué?

¡Esto es como decir “infinito” menos “infinito” también es “infinito”!

Personalmente no me gusta la palabra “infinito”.

Si hay un número definido de cosas, lo llamamos un número FINITO.

Los números de conteo nunca terminan, por lo que llamamos a esto no finito o infinito.

Answer 3

Si. Hay una diferencia. En el contexto del cálculo de límites,

inf + inf -> inf

-inf – inf -> -inf

son formas determinadas

inf – inf es una forma indeterminada.

Answer 4

Gracias por el A2A!

Los límites que, cuando realiza una sustitución directa, implican algo dividido por 0 o implican infinito, son indeterminados. Por lo general, debe reorganizar la expresión para que no se vuelva indeterminada en la sustitución directa. Por ejemplo:

[math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 3} \ frac {x-3} {x-3} [/ math] produce [math] \ frac {0} {0} [/ math] en sustitución directa, pero observe que puede simplificar la expresión a [math] 1 [/ math] para que el límite sea 1.

Ahora considere:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin {x}} {x} [/ matemáticas]

Esta función no se puede reorganizar para que ya no sea indeterminada, pero puede usar la Regla de L’Hopital porque produce [matemática] \ frac {0} {0} [/ matemática]:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin {x}} {x} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ cos {x} = 1 [/ math]

Answer 5

El infinito no es un número. Es solo una idea. Significa que el número es demasiado grande. No tiene ningún sentido sumar o restar infinito.