¿Por qué 1 no es un número primo?

Answer 1

La respuesta corta es que si 1 fuera primo, entonces los números no tendrían factorizaciones primas únicas (Teorema fundamental de la aritmética). Tendríamos que establecer el teorema como “único, hasta factores de 1”. Lo cual es una tontería. Entonces no hacemos eso.

Aquí hay otro ejemplo de este fenómeno, que lleva el nombre general de demasiado simple para ser simple. Un gráfico es, libremente, un montón de puntos conectados por un montón de líneas. Un gráfico conectado es, en términos generales, un gráfico donde puede obtener de cualquier punto a cualquier otro punto viajando a lo largo de las líneas. Ahora, afirmo que cada gráfico tiene una “factorización prima única” en gráficos conectados; Estos gráficos se llaman sus componentes conectados . Por ejemplo, el siguiente gráfico tiene 3 componentes conectados:

Sin embargo, para que la “factorización conectada” de un gráfico sea realmente única, el gráfico vacío (sin puntos, sin líneas) no debe contar como conectado. El gráfico vacío es como 1 aquí porque, de la misma manera que cuando multiplica un número por 1, no cambia, cuando coloca el gráfico vacío al lado de un gráfico no cambia. Formalmente, ambos son elementos de identidad para ciertas operaciones (a saber, la multiplicación y la unión disjunta de gráficos, respectivamente).

( Para los expertos: aquellos de ustedes que saben cómo funcionan las verdades vacías podrían estar objetando, “¡por supuesto, el gráfico vacío está conectado! No tiene vértices, por lo que pueden pasar de un vértice a otro vértice a lo largo de un camino!” la definición de conectividad simplemente hace lo incorrecto aquí. Una versión corregida de la definición es que un gráfico está conectado si tiene exactamente 1 componente conectado, donde “componente conectado” significa una clase de equivalencia de la relación de equivalencia en vértices generada por “u y v están conectados por un borde “. El gráfico vacío tiene 0 componentes conectados. De manera similar, una forma de definir números primos, que desafortunadamente no se generaliza bien, es que un número entero positivo es primo si tiene exactamente 2 factores, pero 1 tiene 1 factor.)

Answer 2

Como han señalado otras respuestas, es importante no llamar a 1 primo porque, de lo contrario, la factorización prima es terriblemente no única; p.ej

[matemáticas] 10 = 2 \ cdot 5 = 1 ^ 3 \ cdot 2 \ cdot 5 = 1 ^ {67} \ cdot 2 \ cdot 5, [/ math]

y una de las principales razones para trabajar con números primos es la singularidad de la factorización prima.

Si bien es cierto que [matemática] -1 [/ matemática] no es primo simplemente porque los primos se definen como números positivos, la razón más profunda por la cual [matemática] -1 [/ matemática] no es primo es realmente que [matemática ] -1 [/ math] es una unidad en los enteros, lo que significa que tiene un inverso multiplicativo. A saber,

[matemáticas] (-1) \ cdot (-1) = 1. [/ matemáticas]

Por otro lado, si bien la convención estándar es que [matemáticas] -2 [/ matemáticas] no es primo porque es negativo, en realidad es bastante razonable llamar a [matemáticas] -2 [/ matemáticas] primo. De hecho, si desea generalizar la noción de factorización prima a configuraciones más abstractas, esencialmente se hace necesario llamar a cosas como [math] -2 [/ math] prime.

Por ejemplo, los enteros guasianos son todos números complejos de la forma

[matemáticas] a + bi [/ matemáticas]

donde [matemáticas] a, b [/ matemáticas] son ​​enteros. Existe la noción de un entero gaussiano principal [matemáticas] a + bi [/ matemáticas], que dice que si

[matemáticas] a + bi = (c + di) (e + fi) [/ matemáticas]

entonces exactamente uno de [matemática] (c + di) [/ matemática] o [matemática] (e + fi) [/ matemática] es una unidad (nuevamente, tiene un inverso multiplicativo). Según esta definición, si multiplica un primo por una unidad, obtiene un primo. Y existe un “teorema fundamental de la aritmética”: cualquier entero gaussiano puede escribirse como un producto de enteros gaussianos primos. Sin embargo, este producto solo es único hasta la multiplicación por unidades.

Por ejemplo, el entero gaussiano [matemática] 7 + 14i [/ matemática] factoriza como

[matemáticas] 7 + 14i = 7 (1+ 2i), [/ matemáticas]

y ambos [matemáticas] 7,1 + 2i [/ matemáticas] son ​​primos gaussianos. Pero también factores como

[matemáticas] 7 + 14i = 7i \ cdot (2-i), [/ matemáticas]

y ambos [math] 7i, (2-i) [/ math] son ​​primos que difieren de los dos primos originales por multiplicación por la unidad [math] i [/ math].

El problema es este: no había una buena forma limpia de decir

“llamemos a [math] 7 [/ math] y [math] 1 + 2i [/ math] prime, pero no llamemos a [math] 7i [/ math] y [math] 2-i [/ math] prime”.

Si pudiera hacer esto, podría recuperar la unicidad de la factorización prima, en lugar de la factorización prima hasta unidades. Sin embargo, todo funciona mucho mejor si solo acepta que la factorización prima solo debe ser única hasta las unidades, y que no tenemos forma de preferir alguna prima [matemática] p [/ matemática] sobre alguna otra prima [matemática] ascendente [/ matemática] , donde [math] u [/ math] es una unidad.

Dejando a un lado un nivel más alto para cualquier persona con un poco de antecedentes de álgebra abstracta: la definición “correcta” del elemento primo [matemático] p [/ matemático] en un anillo conmutativo con unidad [matemática] R [/ matemático] es que el ideal principal [matemático] (p) [/ math] debe ser primo, es decir, [math] R / (p) [/ math] es un dominio integral. Las unidades no son primas porque el anillo cero no es un dominio integral. La ambigüedad dada por las unidades se manifiesta por el hecho de que dos elementos de un anillo que se diferencian por la multiplicación por una unidad generan el mismo ideal.

Answer 3

Duplicado de ¿Debería ser 1 un número primo?

1 no es ni primo ni compuesto. Si fuera primo, muchos teoremas tendrían que agregarles una cláusula “distinta de una”. Del mismo modo, muchos algoritmos que hacen algo por encima de los números primos tendrían que salir de su camino para excluir uno. Es mucho más conveniente que todos lo excluyan de los números primos.

Answer 4

La definición general de un primo en un anillo conmutativo es la siguiente:
[matemáticas] p [/ matemáticas] es primo si

1. [matemáticas] p [/ matemáticas] no es una unidad y
2. para cualquier producto [matemática] a \ cdot b [/ matemática], si [matemática] p [/ matemática] divide * [matemática] a \ cdot b [/ matemática], ya sea [matemática] p [/ matemática] divide [matemática ] a [/ math] o [math] p [/ math] divide [math] b [/ math].

Como 1 es una unidad, no es primo. Por el mismo razonamiento, ninguno es -1.

Hay muchas motivaciones para esta exclusión de unidades. Los dos que me gustaría ofrecer es la práctica de la localización y la construcción de anillos de cociente.

Al considerar el anillo [math] \ mathbb {Z} [\ frac12] [/ math] que consiste en todos los números racionales para los cuales el denominador de su forma reducida ** es una potencia de dos, a uno le gustaría estudiar los primos restantes . Si se permitieran unidades como primos en este anillo, entonces [matemática] 4 [/ matemática] sería primo ya que [matemática] x = \ frac {x} 4 \ cdot 4 [/ matemática] cumpliendo la segunda condición de la definición. Esto es inaceptable.

Otro gran hecho acerca de los números primos es que cuando el cociente de un dominio con unidad por un elemento (técnicamente el ideal que genera), el resultado también es un dominio con unidad si y solo si el elemento es primo. Las unidades generan todo el anillo como su ideal, por lo que el cociente no contiene una identidad multiplicativa distinta de cero.

* Esta definición depende de las definiciones de “divide” y de “unidad”. El enlace de arriba explica lo último. En un anillo, un elemento, [matemática] a [/ matemática],
divide otro elemento, [math] b [/ math], si hay un elemento [math] c [/ math] para el cual [math] a \ cdot c = b [/ math].

** La forma reducida requiere que el denominador sea positivo.

Answer 5

Respuesta uno: ¡Por definición de primo!

La definición es la siguiente.

Un número entero mayor que uno se llama número primo si sus únicos divisores positivos (factores) son uno y en sí mismos.

Claramente, uno queda fuera, pero esto realmente no aborda la pregunta “¿por qué?”

Respuesta dos: por el propósito de los números primos.

La noción formal de primos fue introducida por Euclides en su estudio de números perfectos (en su clásico de “geometría” Los elementos ). Euclides necesitaba saber cuándo un entero n factorizaba en un producto de enteros más pequeños (una factorización no trivial), por lo tanto, estaba interesado en esos números que no factorizaban. Usando la definición anterior demostró:

El teorema fundamental de la aritmética

Cada entero positivo mayor que uno se puede escribir de manera única como un producto de números primos, con los factores primos del producto escritos en orden de tamaño no decreciente.

Aquí encontramos el uso más importante de los números primos: son los bloques de construcción únicos del grupo multiplicativo de enteros. Al hablar de la guerra, a menudo escuchas la frase “divide y vencerás”. El mismo principio se aplica en las matemáticas. Muchas de las propiedades de un número entero se remontan a las propiedades de sus divisores primos, lo que nos permite dividir el problema (literalmente) en problemas más pequeños. El número uno es inútil en este sentido porque a = 1x a = 1x1x a = … Es decir, la divisibilidad por uno no nos proporciona ninguna información sobre a .

Respuesta tres: Porque uno es una unidad.

No sientas lástima por uno, es parte de una clase importante de números llamados unidades (o divisores de unidad ). Estos son los elementos (números) que tienen un inverso multiplicativo. Por ejemplo, en los enteros habituales hay dos unidades {1, -1}. Si ampliamos nuestro alcance para incluir los enteros gaussianos { a + bi | a, b son enteros}, entonces tenemos cuatro unidades {1, -1, i , – i }. En algunos sistemas numéricos hay infinitas unidades.

De hecho, hubo un momento en que muchas personas definieron que uno era primo, pero es la importancia de las unidades en las matemáticas modernas lo que hace que tengamos mucho más cuidado con el número uno (y con los números primos).

Respuesta cuatro: por la definición generalizada de primo.

(Véase también la nota técnica en la definición del Glosario principal).

Hubo un tiempo en que muchas personas definieron que uno era primo, pero es la importancia de las unidades y los números primos en las matemáticas modernas lo que hace que seamos mucho más cuidadosos con el número uno (y con los números primos). Cuando solo consideramos los enteros positivos, el papel de uno como unidad se confunde con su papel como identidad; sin embargo, cuando observamos otros anillos numéricos (un término técnico para sistemas en los que podemos sumar, restar y multiplicar), vemos que la clase de unidades es de importancia fundamental y deben encontrarse antes de que podamos definir la noción de una prima Por ejemplo, así es como Borevich y Shafarevich definen el número primo en su texto clásico “Teoría de números:”

Un elemento p del anillo D, distinto de cero y no una unidad , se llama primo si no puede descomponerse en factores p = ab , ninguno de los cuales es una unidad en D.

Algunas veces los números con esta propiedad se llaman irreductibles y luego el nombre primo se reserva para aquellos números que cuando dividen un producto ab , deben dividir aob (estas clases son las mismas para los enteros ordinarios, pero no siempre en sistemas más generales) . Sin embargo, las unidades son un precursor necesario de los números primos, y uno cae en la clase de unidades, no en números primos. [matemáticas] ^ {[1]} [/ matemáticas]

Comprueba esto también:

¿Por qué 1 no se considera un número primo?
P: ¿Por qué el número 1 no se considera un número primo?
http://mathforum.org/library/drm …
ELI5: ¿Por qué no es 1 un número primo? • r / explicarme gusta
¿Por qué no es 1 un número primo?

Fuentes:
[1] https://primes.utm.edu/notes/faq …

Answer 6

La definición de número primo es: “Un número natural se llama primo si tiene exactamente dos divisores positivos, 1 y el número mismo”
Como 1 tiene solo un divisor (en sí mismo), 1 no es primo (por definición).

Supongo que esto es principalmente una convención no realmente importante pero más conveniente para algunas declaraciones.

Por ejemplo :
El teorema fundamental de la aritmética:
“Cada entero positivo mayor que uno se puede escribir de forma única como un producto de números primos, con los factores primos del producto escritos en orden de tamaño no decreciente”.
Si 1 fuera un número primo, esto no sería cierto.

Answer 7

1 no es un número primo simplemente porque un primo debe ser divisible por exactamente dos factores, incluido uno mismo, el número uno no pasa la prueba de primalidad porque tiene un solo factor. Debido a este poco de complejidad, la definición de número primo establece explícitamente que un primo debe ser mayor que uno, por lo que uno por definición no es primo, probablemente para evitar que las cabezas de los estudiantes de matemáticas de cuarto grado giren locamente en clase. No es un número compuesto. Recuerde que un número compuesto debe ser el producto de dos primos. Como ya sabemos que uno en sí mismo no es primo, y no hay ni siquiera un par de factores (mucho menos una factorización prima más profunda) para el número uno. Puede verificarlo usando esta Calculadora de factorización prima

Answer 8

La definición de Euclides de número primo hace 2300 años excluida 1.

Algunos autores desde entonces han incluido 1 como número primo, pero es inconveniente hacerlo porque la mayoría de los teoremas que mencionan números primos tendrían que excluir 1.

Por ejemplo, si 1 no se considera un número primo, puede decir que cada número es un producto único de las potencias de los números primos. Pero si se incluye 1, tendría que decir que cada número es un producto único de potencias de números distintos de 1 que son primos.

No, 1 no debe considerarse un número primo.

Answer 9

“Un número primo (o primo) es un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos distintos de 1 y en sí mismo”.

1 podría dividirse por 1 y por sí mismo.

Sin embargo, no satisface el teorema de factorización único. 1 es un producto vacío. Un número primo debe tener exactamente 2 factores que son únicos. Pero, 1 tiene solo 1 factor, que es 1.

Según el teorema fundamental de la aritmética o el teorema de factorización única, “cada número entero positivo puede escribirse como un producto único de números primos”. El libro de elementos de Euclides muestra ‘Cualquier número compuesto se mide por algún número primo’.

Consideremos 1 como primo. Entonces podemos escribir digamos, 15 como 5 × 3, o 5x3x1, o 5x3x1x1, … Por lo tanto, si 1 es primo, no permite que ningún entero positivo compuesto se escriba como un producto único de primos. Entonces, si el Teorema de factorización único tiene que ser válido, 1 no debería ser un número primo.

Entonces, 1 no es un número primo ni compuesto.

Pero bueno, todo es bastante axiomático y aceptamos 1 como número primo hasta el siglo XIX. Creo que el número primo debe ser redefinido más claramente por la comunidad matemática para evitar suposiciones arbitrarias.

Answer 10

Muchas buenas respuestas a esta pregunta, planteando una amplia variedad de puntos. La clave del tema es que 1 es la identidad multiplicativa; Es un factor de cada número natural, y tiene una factorización trivial: en sí mismo. Los primes son las siguientes cosas menos complicadas, según van los números, ya que tienen exactamente un factor no trivial en este sentido.

Answer 11

Debido a que la definición de un número primo no permite 1:

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos distintos de 1 y en sí mismo.

En el siglo XIX, todavía se afirmaba que 1 es primo, pero resultó ser una mala definición que conduce a contradicciones, por ejemplo, al factorizar números de manera única. Ver número primo – Wikipedia

Hay una forma intuitiva de motivar que 1 no es primo:

Toma algunas potencias de dos y anota todos los factores:

[matemáticas] 16 = 2 * 2 * 2 * 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 8 = 2 * 2 * 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 = 2 * 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = \ _ [/ matemáticas]

Puedes ver que el primo es el término con un solo factor. El uno no tiene ningún factor real en absoluto.

Answer 12

Se dice que un número entero [math] n [/ math] es una unidad si [math] n [/ math] divide [math] 1 [/ math].

Se dice que un número entero [math] n [/ math] es [math] prime [/ math] si [math] n [/ math] no es [math] 0 [/ math] ni una unidad y siempre que [math] n [/ math] divide un producto de enteros [math] ab [/ math], luego [math] n [/ math] debe dividir al menos uno de [math] a [/ math] o [math] b [/ math] .

Como [math] 1 [/ math] es una unidad (porque [math] 1 [/ math] divide [math] 1 [/ math]), [math] 1 [/ math] está excluido de ser primo.

Si se permitiera que las unidades como [math] 1 [/ math] fueran primos, entonces perderíamos las propiedades únicas de factorización de los enteros, desde entonces, por ejemplo, [math] 5 = 1 \ times 5 = 1 \ times 1 \ veces 5 = (-1) \ veces (-1) \ veces 5 = \ cdots [/ math]. Por lo tanto, [matematicas] 1 [/ matematicas] (y la otra unidad [matematicas] -1 [/ matematicas]) tiene prohibido ser primo por exactamente este motivo. En términos más generales, se prohíbe que las unidades sean primos en todos los anillos, de modo que todos los dominios de factorización únicos (también conocidos como UFD) tendrían factorizaciones únicas.

(Para los que dudan, esta es la definición real de ‘primo’. La definición habitual de ‘primo’ es que [matemáticas] n [/ matemáticas] es primo si solo divide [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o en sí mismo, pero esa es en realidad la definición de ‘irreducible’. Afortunadamente, en el anillo de los enteros, un número entero es primo si y solo si es irreducible, por lo que los dos conceptos pueden intercambiarse. Sin embargo, esto no es cierto para todos los anillos).

Answer 13

John H Conway se refiere a “el primer -1” en su libro The Sensual (Quadratic) Form (Carus Mathematical Monographs): John Horton Conway, Francis YC Fung: 9780883850305: Amazon.com: Libros

Answer 14

Si 1 se considerara primo, entonces el teorema fundamental de la aritmética no sería necesariamente cierto, ya que todo tendría una factorización prima con un número arbitrario de 1 como factores.

En otras palabras, la definición de un número primo no debería ser realmente que son números que no son divisibles por nada más que 1 y en sí mismo. En cambio, los números primos se consideran mejor como los bloques de construcción multiplicativos de los números, como los átomos para los números. El número 1 no es un bloque de construcción multiplicativo, es el bloque de construcción aditivo, o el bloque de construcción para los bloques de construcción, como un quark. No puede considerarse como un átomo, es aún más fundamental.

Answer 15

En el pasado, muchos buenos autores consideraban que 1 era primo, porque es divisible solo por 1 y por sí mismo. Pero luego escribir sobre enteros se vuelve pesado: el autor siempre debe hacer de 1 una excepción. Es mucho más fácil definir un número primo como un número entero positivo mayor que 1 y divisible solo por 1 y por sí mismo, porque entonces esas cansadoras excepciones desaparecen.

Editar : vea Número primo – de Wolfram MathWorld para conocer un poco más sobre 1 como primo.

Answer 16

Porque considerar 1 como primo haría que muchos teoremas fueran mucho más difíciles de enunciar. Considere el teorema fundamental de la aritmética:

“Cada número entero mayor que 1 es primo en sí mismo o es producto de números primos, y este producto es único, hasta el orden de los factores”.

Si tratamos 1 como primo, tenemos que reescribirlo así:

“Cada entero positivo es primo en sí mismo o es producto de números primos, y este producto es único, hasta el orden de los factores y la multiplicidad del factor 1”.

Esto se debe a que con la definición actual, solo hay un producto de primos que produce 6: 2 * 3. Pero si 1 fuera primo, también podríamos hacer 1 * 2 * 3 y 1 * 1 * 2 * 3 y 1 * 1 * 1 * 2 * 3 y así sucesivamente, durante tantos 1s como queramos. Ninguno de estos últimos casos es posible si 1 no es primo.

Hacer un caso especial para 1 tendría que hacerse en muchos teoremas y pruebas en toda la teoría de números, por lo que se vuelve inconveniente. En cambio, simplemente excluimos 1 del conjunto de números primos y todo se vuelve mucho más simple.

Answer 17

Si [math] 1 [/ math] se considerara “primo”, no tendríamos una factorización única de enteros en primos, aunque eso es una retrospectiva que es 20-20. Una razón más abstracta proviene de la teoría de los anillos, y tiene que ver con los generadores de ideales primarios. Pero antes de profundizar en los anillos, que considera conjuntos con dos operaciones muy compatibles, probablemente sea aconsejable comenzar con la teoría de grupos, que considera solo una buena operación.

Answer 18

Porque [math] 1 [/ math] no comparte todas las propiedades interesantes de los números primos.

Si incluimos [matemáticas] 1 [/ matemáticas] en el conjunto de números primos, entonces todos nuestros valiosos teoremas que involucran números primos tendrían que comenzar diciendo algo como:
“Deje que [matemáticas] p [/ matemáticas] sea un primo mayor que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] …”

Sería inconveniente tener que escribir constantemente esa frase. Por lo tanto, excluimos [math] 1 [/ math] por conveniencia y porque [math] 1 [/ math] no tiene mucho en común con los números primos.

E incluso si alguien escribió una ley que establezca que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] debe incluirse en los números primos, simplemente haríamos otra palabra para “números primos mayores que 1”. El conjunto de números primos tal como lo definimos hoy es tan naturalmente útil que tendríamos una categoría especial para él, incluso si no usáramos la palabra “primo”.

Answer 19

Es realmente bastante simple. Si 1 fuera primo, entonces el teorema fundamental de la aritmética no se mantendría. Es decir, todos los números tendrían infinitas factorizaciones primas diferentes. Por ejemplo:

15 = 3 × 5 = 3x5x1 = 3x5x1x1 …

Entonces ves por qué es un problema. Y todo saldría en cascada a partir de ahí: sin factorización prima única, sin forma real de decidir si dos números son coprimos, sin función phi de Euler … etc. etc.

Por supuesto, también sería posible cambiar todos los teoremas para que se lean “… para todos los números primos excepto 1 “. Pero en general, simplemente no vale la pena.

Answer 20

Ya no, según la definición actualmente aceptada.
Vea las respuestas aquí para más detalles: Intercambio de pila de matemáticas