¿Puede 1 ecuación tener 2 raíces en las que x1 es un número real y x2 es un número imaginario / complejo? Si es así, ¿puede decirme cuál es la condición?

Answer 1

Una ecuación puede tener cualquier combinación de soluciones complejas reales y no reales que desee.

Una ecuación polinómica aún puede tener cualquier combinación de soluciones complejas reales y no reales que desee.

Una ecuación polinómica con coeficientes reales está restringida. Las soluciones complejas no reales deben aparecer en pares conjugados, por lo que debe haber un número par de ellas.

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales , por lo tanto, puede tener dos soluciones reales o dos soluciones conjugadas complejas no reales. No puede tener una solución real y una imaginaria.

Sin embargo, una ecuación cuadrática no tiene que tener coeficientes reales. La ecuacion

[matemáticas] X ^ 2- (7 + 3i) X + 21i = 0 [/ matemáticas]

es una ecuación cuadrática perfectamente fina, y sus soluciones son [matemática] X = 7 [/ matemática] y [matemática] X = 3i [/ matemática], una real y otra imaginaria.

Answer 2

Gracias por el A2A!

Deje [math] x_2 = a + bi \, \ {a, b \ in \ mathbb {R} \ mid b \ neq 0 \} [/ math], [math] k \ in \ mathbb {C} (k \ neq 0) [/ math] y [math] x_1 \ in \ mathbb {R} [/ math]. Luego, todos los polinomios que tienen 1 raíz real y 1 raíz compleja:

[matemáticas] y = k (x-x_1) (x-x_2) [/ matemáticas]

En expansión:

[matemáticas] y = kx ^ 2 + k (-x_1-x_2) x + kx_1x_2 [/ matemáticas]

Reemplazando [math] x_2 [/ math] con [math] a + bi [/ math]:

[matemáticas] y = kx ^ 2 + k (-x_1-a-bi) x + kx_1 (a + bi) [/ matemáticas]

Entonces, los requisitos para que un polinomio tenga 1 raíz real y 1 raíz compleja:

-Debe ser de grado 2.

-Puede tener constante [matemática] k [/ matemática] multiplicada por todos los términos.

-El coeficiente del término [matemática] x [/ matemática] debe ser complejo porque [matemática] b \ neq 0 [/ matemática] y la constante debe ser compleja por la misma razón.

NOTA: estos son solo para polinomios. Estoy seguro de que hay infinitas ecuaciones no polinómicas con 1 raíz real y 1 raíz compleja.

Answer 3

Si. Considere la ecuación x ^ 2 – ix = 0. Esto factoriza como x (xi) = 0, entonces las raíces son x = 0, i. Uno es real y el otro es imaginario.

Sin embargo, esto solo puede suceder si uno o más de los coeficientes en los iguales no son reales. Si los coeficientes son todos números reales, entonces las raíces serán ambas reales o ambas serán complejas.

Answer 4

¿Cuáles son las soluciones para [matemáticas] (x-7) (xi) = 0 [/ matemáticas]?

Una condición necesaria para que una ecuación cuadrática tenga soluciones reales e imaginarias es que los coeficientes de las potencias de x no sean todos reales o imaginarios.

Answer 5

Cuando uno o más coeficientes son complejos.

Toma dos números cualquiera a y b. Deja que a sea real yb complejo.

Ellos escriben un polinomio

(xa) (xb). Sus raíces son ay b.