Podemos resolver esto haciendo casos:
Caso 1: el triángulo es agudo o ángulo recto
Un ángulo del triángulo (digamos [matemática] \ ángulo A [/ matemática]) puede ser cualquier cosa entre [matemática] 1 ^ \ circ [/ matemática] a [matemática] 90 ^ \ circ [/ matemática], es decir, 90 posibilidades como los ángulos son solo números naturales.
El segundo ángulo del triángulo (digamos [matemáticas] \ ángulo B [/ matemáticas]) puede ser cualquier cosa entre [matemáticas] 1 ^ \ circ [/ matemáticas] a [matemáticas] 89 ^ \ circ [/ matemáticas] (ya que 2 ángulos no puede ser [matemática] 90 ^ \ circ [/ matemática] cada una), es decir, 89 posibilidades ya que los ángulos son solo números naturales.
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El tercer ángulo del triángulo ([matemáticas] \ ángulo C [/ matemáticas]) será [matemáticas] 180 ^ \ circ – \ ángulo A – \ ángulo B [/ matemáticas], es decir, 1 posibilidad
Por lo tanto, el número total de triángulos agudos o rectos será [matemática] ([/ matemática] [matemática] 90 * 89 * 1) / 3 [/ matemática] [matemática] = 2670 [/ matemática]
Nota: estamos dividiendo entre 3 ya que [matemática] \ ángulo A, \ ángulo B y \ ángulo C [/ matemática] son intercambiables.
Caso 2: el triángulo tiene un ángulo obtuso
El ángulo obtuso del triángulo (digamos [matemática] \ ángulo A [/ matemática]) puede ser cualquier cosa entre [matemática] 91 ^ \ circ [/ matemática] a [matemática] 178 ^ \ circ [/ matemática] (ya que otros 2 ángulos deben ser al menos [math] 1 ^ \ circ [/ math]), es decir, 88 posibilidades ya que los ángulos son solo números naturales.
El segundo ángulo del triángulo (digamos [matemática] \ ángulo B [/ matemática]) puede ser cualquier cosa entre [matemática] 1 ^ \ circ [/ matemática] a [matemática] 88 ^ \ circ [/ matemática] (desde el tercer ángulo no puede ser menor que [matemática] 1 ^ \ circ [/ matemática]), es decir, 88 posibilidades ya que los ángulos son solo números naturales.
El tercer ángulo del triángulo ([matemáticas] \ ángulo C [/ matemáticas]) será [matemáticas] 180 ^ \ circ – \ ángulo A – \ ángulo B [/ matemáticas], es decir, 1 posibilidad
Por lo tanto, el número total de triángulos obtusos será [matemática] ([/ matemática] [matemática] 88 * 88 * 1) / 2 = 3872 [/ matemática]
Nota: estamos dividiendo entre 2 como [matemáticas] \ ángulo B, y \ ángulo C [/ matemáticas] son intercambiables.
Por lo tanto, el número total de triángulos posibles es 6542