Esto parece un poco tramposo, pero buscaremos el coeficiente de [math] y ^ 3 [/ math] en la expansión de:
[matemáticas] \ begin {align} f (x, y) = & \ underbrace {(1 + xy + (xy) ^ 2)} _ {\ text {pennies}} \ underbrace {(1 + x ^ 5y + (x ^ 5y) ^ 2)} _ {\ text {nickels}} \ times \\ [1ex] & \ underbrace {(1 + x ^ {10} y + (x ^ {10} y) ^ 2)} _ {\ text {dimes}} \ underbrace {(1 + x ^ {25} y + (x ^ {25} y) ^ 2)} _ {\ text {quarters}} \ times \\ [1ex] & \ underbrace {(1+ x ^ {50} y + (x ^ {50} y) ^ 2)} _ {\ text {medio dólar}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Como podemos tener 0, 1 o 2 de cualquier moneda, cada paréntesis indica la posibilidad de 3 para cada tipo de moneda. De esta forma [math] x [/ math] es el enumerador de los valores de cada moneda y [math] y [/ math] es el enumerador de la cantidad de cada moneda, esto significa que cada resultado posible se codifica como un término en la expansión. Por ejemplo, el término [matemática] x ^ {16} y ^ 3 [/ matemática] es el término que representa el posible resultado de obtener 16 centavos con 3 monedas. Dado que cada resultado se cuenta en la expansión, el coeficiente de cada uno de estos términos representará la cantidad de formas en que se puede lograr este resultado (este último bit no es importante en esta pregunta).
Ingrese lo siguiente en sage [1]
- ¿Puede 1 ecuación tener 2 raíces en las que x1 es un número real y x2 es un número imaginario / complejo? Si es así, ¿puede decirme cuál es la condición?
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y = var ('y')
show (expand ((1 + x * y + (x * y) ^ 2) * (1 + x ^ 5 * y + (x ^ 5 * y) ^ 2) * (1 + x ^ 10 * y + (x ^ 10 * y) ^ 2) * (1 + x ^ 25 * y + (x ^ 25 * y) ^ 2) * (1 + x ^ 50 * y + (x ^ 50 * y) ^ 2)). coeficiente (y ^ 3))
Para obtener la salida para el coeficiente [math] y ^ 3 [/ math] de [math] f (x, y) [/ math]:
[matemáticas] \ begin {align} [y ^ 3] f (x, y) = \ quad & x ^ {125} + x ^ {110} + x ^ {105} + x ^ {101} + x ^ {100 } + x ^ {85} + x ^ {80} + x ^ {76} + x ^ {70} + x ^ {65} + \\ & x ^ {61} + 2 \, x ^ {60} + x ^ {56} + x ^ {55} + x ^ {52} + x ^ {51} + x ^ {45} + x ^ {40} + x ^ {36} + x ^ {35} + \\ & x ^ {31} + x ^ {27} + x ^ {25} + x ^ {21} + x ^ {20} + x ^ {16} + x ^ {12} + x ^ {11} + x ^ {7} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Después de esto, esto se interpreta como una representación de cada suma posible representada por cada índice de [matemáticas] x [/ matemáticas] y cada coeficiente de [matemáticas] x ^ {\ text {índice}} [/ matemáticas] es el número de maneras en que esa suma se puede lograr con 3 cuentas.
Entonces, contando el número de diferentes índices en [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] [y ^ 3] f (x, y) [/ matemáticas] (este es solo el número de términos) encontramos que:
[math] \ bbox [# FFA, 20px] {\ text {Número de sumas diferentes con $ 3 $ monedas} = 29} \ tag {Respuesta} [/ math]
Notas al pie
[1] Sage Cell Server