Cómo probar que sin (arccsc (tan (arccot ​​(x))))) = x

Answer 1

[math] \ DeclareMathOperator {\ arccot} {arccot} \ DeclareMathOperator {\ arccsc} {arccsc} \ arccot ​​{x} [/ math] produce un valor, digamos [math] \ alpha [/ math], de modo que [math] \ cot {\ alpha} = x [/ math]. [matemática] \ cot {\ alpha} \ equiv \ dfrac {1} {\ tan {\ alpha}} [/ matemática], [matemática] \ por lo tanto \ tan {\ alpha} = \ tan {\ left (\ arccot ​​{ x} \ right)} = \ dfrac {1} {x} [/ math].

De manera similar, [math] \ arccsc {y} [/ math] produce un valor, digamos [math] \ beta [/ math], de modo que [math] \ csc {\ beta} = y [/ math]. [matemática] \ csc {\ beta} \ equiv \ dfrac {1} {\ sin {\ beta}} [/ matemática], [matemática] \ por lo tanto \ sin {\ beta} = \ sin {\ left (\ arccsc { y} \ right)} = \ dfrac {1} {y} [/ math].

En particular, si establecemos [math] y = \ tan {\ left (\ arccot ​​{x} \ right)} = \ dfrac {1} {x} [/ math] obtenemos [math] \ sin {\ left ( \ arccsc {y} \ right)} = \ sin {\ left (\ arccsc {\ left (\ tan {\ left (\ arccot ​​{x} \ right)} \ right)} \ right)} = \ dfrac {1 } {\ frac {1} {x}} = x \ \ [/ math] QED

Answer 2

1. [matemáticas] \ sin {\ alpha} = \ dfrac {y} {r} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ csc {\ alpha} = \ dfrac {1} {\ sin {\ alpha}} = \ dfrac { r} {y} [/ math], entonces [math] arccsc {\ dfrac {r} {y}} = \ alpha [/ math]. Por lo tanto [math] \ sin (arccsc {\ dfrac {r} {y}}) = \ dfrac {y} {r} [/ math]. Así [matemáticas] \ sin (arccsc {x}) = \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas].
2. [matemáticas] \ tan {\ alpha} = \ dfrac {y} {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cot {\ alpha} = \ dfrac {1} {\ tan {\ alpha}} = \ dfrac { x} {y} [/ math], entonces [math] arccot ​​{\ dfrac {x} {y}} = \ alpha [/ math]. Por lo tanto, [math] \ tan (arccot ​​{\ dfrac {x} {y}}) = \ dfrac {y} {x} [/ math]. Así [matemáticas] \ tan (arccot ​​{x}) = \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas].

Usando estos 2 puntos en la pregunta,

[matemáticas] \ sin (arccsc (\ tan (arccot ​​{x}))) = \ sin (arccsc \ dfrac {1} {x}) = \ dfrac {1} {\ frac {1} {x}} = x [/matemáticas]

Answer 3

Deje [math] x = \ tan y \ qquad \ Rightarrow \ qquad y = \ arctan x [/ math]

Además, [math] x = \ tan y \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ frac {1} {x} = \ cot y \ qquad \ Rightarrow \ qquad y = [/ math] arccot ​​[math] \ frac {1} { x} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] arccot ​​[math] \ frac {1} {x} = \ arctan x \ qquad [/ math] y [math] \ qquad \ arctan \ frac {1} {x} = [/ math] arccot ​​[math] x [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad \ tan ([/ math] arccot ​​[math] (x)) = \ tan (\ arctan (\ frac {1} {x})) = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] arccsc [math] (\ tan ([/ math] arccot ​​[math] (x))) = [/ math] arccsc [math] (\ frac {1} {x} )[/matemáticas]

Del mismo modo, arccsc [matemáticas] \ frac {1} {x} = \ arcsin x [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad \ arcsin ([/ math] arccsc [math] (\ frac {1} {x})) = \ arcsin (\ arcsin x) = x [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad \ arcsin ([/ math] arccsc [math] (\ tan ([/ math] arccot ​​[math] (x))) = x [/ math]

Answer 4

El lado izquierdo

= sin (arccsc (tan (arctan (1 / x))))

= sin (arccsc (1 / x))

= sin (arcsin (x))

= x

= El lado derecho

QED

Answer 5

Para principiantes,

¿No debería haber un ángulo de grado o medida de un lado?