[matemáticas] I = \ int \ sqrt {e ^ x – 1} dx \, \, \, \, ———- (1) [/ matemáticas]
Deje [math] y = \ sqrt {e ^ x – 1} \, \, \, \, ———- (2) [/ math]
[matemáticas] \ implica y ^ 2 = e ^ x – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica y ^ 2 + 1 = e ^ x \, \, \, \, ———- (3) [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ implica 2y \ frac {dy} {dx} = e ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2y \ frac {dy} {dx} = y ^ 2 + 1 [/ matemáticas] (valor reemplazado de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas])
[matemáticas] \ implica \ frac {2y} {y ^ 2 + 1} dy = dx \, \, \, \, ———- (4) [/ matemáticas]
De la ecuación [matemática] (1) [/ matemática], [matemática] (2) [/ matemática] y [matemática] (3) [/ matemática], tenemos,
[matemáticas] I = \ int \ frac {2y ^ 2} {y ^ 2 + 1} dy [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ int \ frac {y ^ 2 + 1 – 1} {y ^ 2 + 1} dy [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ int dy – 2 \ int \ frac {1} {y ^ 2 + 1} dy [/ math]
[matemática] = 2y – 2 \ arctan (y) + C [/ matemática] ([matemática] C [/ matemática] es una constante) [matemática] \, \, \, \, ———- (5) [ /matemáticas]
Poniendo el valor de [math] y [/ math] en la ecuación anterior, tenemos,
[matemáticas] I = 2 \ sqrt {e ^ x – 1} – 2 \ arctan (\ sqrt {e ^ x – 1}) + C [/ matemáticas]