Gracias por el A2A, Pratik Mendapara!
En honor a mi [matemáticas] 100 ^ {\ text {th}} [/ matemáticas] Respuesta de Quora, ¡aquí vamos!
La pregunta es:
¿Cuáles son los valores reales de [matemáticas] x [/ matemáticas] que satisfacen la desigualdad [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ left | x-2 \ right | -2} {\ left | x-1 \ right | -1} \ lt 1 [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar [matemáticas] \ frac {1} {n + 1} C ^ {2n} _n = \ frac {4 ^ n} {\ pi ^ {\ frac {1} {2}}} n ^ {\ frac {3} {2}} (1 + O (\ frac {1} {n})) [/ math]
- ¿Qué es la pendiente de una línea?
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De alguna manera podemos abordar esto fácilmente. Primero, transponemos el denominador al RHS de la desigualdad, que conserva el signo, ya que es una multiplicación por una cantidad positiva de ambos lados de la desigualdad si [math] x \ gt 2 [/ math] o [math] x \ le -1 [/ matemáticas]. El caso de [math] x = 1 [/ math] es inadmisible ya que el LHS evalúa a [math] – \ infty [/ math] y el caso de [math] x = 0 [/ math] también es inadmisible como el LHS evalúa a [math] \ frac {0} {0} [/ math], una forma indeterminada.
Haciendo la transposición, obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ left | x-2 \ right | -2 \ lt \ left | x-1 \ right | -1 [/ math]
Ahora agregamos [math] 1 [/ math] a ambos lados para obtener:
[matemáticas] \ displaystyle \ left | x-2 \ right | -1 \ lt \ left | x-1 \ right | [/ math]
Podemos ver de inmediato que cualquier valor negativo de [matemática] x \ 🙁 1) [/ matemática], [matemática] x = 0 \ 🙁 2) [/ matemática] o [matemática] x = 1 \ 🙁 3) [/ math] viola esta desigualdad, por lo que las soluciones admisibles son [math] x \ in [2, \ infty) [/ math] donde [math] \ infty [/ math] está excluido para hacer [math] x [ / math] finito (se sabe que las desigualdades se comportan de manera extraña si hay infinitos involucrados).
¿Por qué las restricciones anteriores en [matemáticas] x [/ matemáticas]?
- Si [matemática] x \ lt 0 [/ matemática] (Caso [matemática] (1) [/ matemática]), [matemática] \ left | x-2 \ right | \ gt \ left | x-1 \ right | [ / math] y por lo tanto [math] \ left | x-2 \ right | -1 \ ge \ left | x-1 \ right | [/ math], por lo tanto, la desigualdad no se cumple.
- Si [matemática] x = 0 [/ matemática] (Caso [matemática] (2) [/ matemática]), [matemática] \ left | x-2 \ right | \ gt \ left | x-1 \ right | \ \ left (\ porque \ left | -2 \ right | \ gt \ left | -1 \ right | \ implica 2 \ gt 1 \ implica \ text {true} \ right) [/ math] y, por lo tanto, [math] \ left | x-2 \ right | -1 = \ left | x-1 \ right | [/ math], por lo tanto, la desigualdad no se cumple.
- Si [matemática] x = 1 [/ matemática] (Caso [matemática] (3) [/ matemática]), [matemática] \ left | x-2 \ right | \ gt \ left | x-1 \ right | \ \ left (\ porque \ left | -1 \ right | \ gt \ left | 0 \ right | \ implica 1 \ gt 0 \ implica \ text {true} \ right) [/ math], y por lo tanto [math] \ left | x-2 \ right | -1 = \ left | x-1 \ right | [/ math], por lo tanto, la desigualdad no se cumple.
Ahora es fácil verificar que la desigualdad se cumple para todos [math] x \ gt 1 [/ math], por lo tanto [math] x \ in [2, \ infty) [/ math], como se indicó anteriormente.
