Matemáticamente, [matemática] y ^ 2 = x [/ matemática] es una ecuación, una afirmación sobre la igualdad de dos expresiones que contienen dos variables (que, en contexto, parecen ser números, o al menos algo que puede ser cuadrado). Hay un conjunto de pares de valores [matemática] (x, y) [/ matemática] de modo que la ecuación sea verdadera.
Por el contrario, una función es un mapeo de un conjunto (el “dominio”) a otro conjunto (el “codominio”) de manera que cada elemento del dominio se mapea exactamente a un elemento del codominio. No hay restricciones sobre el dominio y el codominio, e incluso pueden ser iguales. Técnicamente, una función es un conjunto de pares de elementos [math] (a, b) [/ math], uno del dominio y otro del codominio con la restricción de que no hay dos pares en la función que tengan el mismo elemento de dominio (en otras palabras, [matemáticas] (a, b) \ en f, (a, c) \ en f \ implica b = c [/ matemáticas]). La notación de aplicación de función [matemática] f (a) [/ matemática] realmente significa devolver la [matemática] b [/ matemática] tal que [matemática] (a, b) \ en f [/ matemática].
Las ecuaciones pueden definir o describir funciones implícitamente, en el sentido de que el conjunto de soluciones de una ecuación puede tener las propiedades de una función (en otras palabras, si [math] (a, b) [/ math] y [math] (a, c) [/ math] ambos satisfacen la ecuación, luego [math] b = c [/ math]). De hecho, es muy común “definir” una función diciendo algo como [math] f (x) = x ^ 2 + 5 [/ math], donde un lado de la ecuación es solo la aplicación de la función, y el otro El lado es una expresión. Las funciones se “definen implícitamente” cuando se da una ecuación usando aplicaciones de funciones, pero no están aisladas. Por ejemplo, [matemática] x ^ 2-f (x) = -5 [/ matemática] es una definición implícita de la misma función dada anteriormente en este párrafo.
Entonces, ¿dónde deja eso [matemáticas] y ^ 2 = x [/ matemáticas]?
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No es una función. Es una ecuación. Su conjunto de soluciones podría ser una función.
Y de hecho, lo es. Tenga en cuenta que para cada valor real de [math] y [/ math], solo hay un valor posible para [math] x [/ math] que satisface la ecuación. Entonces, podríamos reescribir esto fácilmente como [matemáticas] x = f (y), y ^ 2 = f (x) [/ matemáticas], y esto obtendría una definición explícita de la función en [matemáticas] y [/ matemáticas] que esto La ecuación define implícitamente.
