¿Cómo puedo probar que para 0 <a <b, si h está definido por 1 / h = 1/2 (1 / a + 1 / b), entonces a <h <b?

Answer 1

Lo que ha denominado h es la media armónica de a y b y puede expresarse como 2 ab / ( a + b ). Esto viene de:
[matemáticas] \ frac {1} {h} = \ frac {1 / a + 1 / b} {2} [/ matemáticas].
Tomando los rendimientos recíprocos:
[matemáticas] h = \ frac {2} {1 / a + 1 / b} = \ frac {2} {1 / a + 1 / b} \ frac {ab} {ab} = \ frac {2ab} {b + a} [/ matemáticas].

La pregunta es, por lo tanto, si a <2 ab / ( a + b ) < b .

Como a < b , tenemos a ² = aa < ab < bb = b².

Por lo tanto, a ( a + b ) = a ² + ab < ab + ab < ab + b ² = ( a + b ) b .

Por lo tanto, a ( a + b ) <2 ab <( a + b ) b .

Divide las tres partes de la desigualdad por a + b :
a <2 ab / ( a + b ) < b .

La parte media es h , entonces a < h < b , como se iba a demostrar.

Sin embargo, podemos poner un límite aún más estricto en h :
a < h <( a + b ) / 2 < a + b , siendo la tercera parte la media aritmética de a y b .

Por lo tanto, para dos números positivos distintos, la media armónica de los dos valores es mayor que el valor menor y menor que la media aritmética de los dos valores, que a su vez es menor que el mayor de los dos valores. Si a = b , entonces todos los símbolos <se reemplazan por igualdades.

Por ejemplo, a = 40 yb = 60. La media aritmética es (40 + 60) / 2 = 50. La media armónica es 2 × 40 × 60 / (40 + 60) = 4800/100 = 48. Efectivamente,
40 <48 <50 <60.

(Esto está relacionado con el problema de que si conduce un viaje de ida y vuelta de 137 km en cada sentido y promedia 40 km / h de ida y 60 km / h en el regreso, ¿cuál es su velocidad promedio para toda la parte de manejo del viaje? : No es 50 km / h.)