¿Cuál es la derivada de [matemáticas] y = \ dfrac {2 \ sin x} {\ sin x – \ cos x} [/ matemáticas]?

Answer 1

Necesitarás invocar a tus viejos amigos conocidos como Regla de producto y Regla de cadena.

[matemáticas] y = \ frac {2 sin (x)} {sin (x) -cos (x)} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {2cos (x)} {sin (x) -cos (x)} + \ frac {-2sin (x)} {(sin (x) -cos ( x)) ^ 2} (cos (x) + sin (x)) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2cos (x)} {sin (x) -cos (x)} – \ frac {2sin ^ 2 (x) + 2sin (x) cos (x)} {(sin (x) – cos (x)) ^ 2} = \ frac {2cos (x) sin (x) – 2cos ^ 2 (x) – 2sin (x) cos (x) – 2sin ^ 2 (x)} {(sin (x) -cos (x)) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-2 (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x))} {(sin (x) -cos (x)) ^ 2} = \ frac {-2} {(sin (x) -cos (x)) ^ 2} [/ matemáticas]

Finito

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Siempre que tenga una función en la forma: [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {g (x)} [/ matemáticas] entonces la derivada con respecto a x es la siguiente:

[matemáticas] f ‘(x) = – \ frac {g’ (x)} {(g (x)) ^ 2} [/ matemáticas]

Esto se deduce inmediatamente de la regla de la cadena y se utilizó en el segundo término de la primera línea en esta derivación.

Answer 2

Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ dfrac {2 \, \ sin x} {\ sin x – \ cos x} = \ dfrac {\ sin x + \ cos x} {\ sin x – \ cos x} + \ dfrac {\ sin x – \ cos x} {\ sin x – \ cos x} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ cot x + 1} {\ cot x – 1} + 1 [/ matemáticas]

[math] = – \ cot \ big (x- \ frac {\ pi} {4} \ big) + 1 [/ math] ya que [math] \ cot (AB) = \ dfrac {\ cot A \, \ cot B + 1} {\ cot B- \ cot A} [/ math].

Por lo tanto, la derivada es [matemática] {\ csc} ^ 2 \ big (x- \ frac {\ pi} {4} \ big) [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Un enfoque ligeramente diferente.

[matemáticas] \ begin {align} y & = \ dfrac {2 \ sin x} {\ sin x- \ cos x} \\\ ln y & = \ ln (2 \ sin x) – \ ln (\ sin x- \ cos x) \\\ dfrac {y ‘} y & = \ dfrac {\ cos x} {\ sin x} – \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sin x- \ cos x} \\ y’ & = \ dfrac {2 \ sin x} {\ sin x- \ cos x} \ left [\ dfrac {\ cos x} {\ sin x} – \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sin x- \ cos x} \ right] \\ y ‘& = \ dfrac {2 \ cos x} {\ sin x- \ cos x} – \ dfrac {2 \ sin x (\ cos x + \ sin x)} {(\ sin x- \ cos x) ^ 2} \\ y ‘& = \ dfrac {2 \ cos x (\ sin x- \ cos x) -2 \ sin x (\ cos x + \ sin x)} {(\ sin x – \ cos x) ^ 2} \\ y ‘& = \ dfrac {-2 \ cos ^ 2x-2 \ sin ^ 2x} {(\ sin x- \ cos x) ^ 2} \\\ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} & = – \ dfrac2 {(\ sin x- \ cos x) ^ 2} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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[math] \ bbox [#FFA] {\ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = – \ dfrac2 {(\ sin x- \ cos x) ^ 2}} \ tag * {} [/ math]

Answer 4

Use la regla del cociente para diferenciar esta expresión:

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {2 \ cos (x) \ cdot (\ sin (x) – \ cos (x)) – 2 \ sin (x) \ cdot (\ cos (x) + \ sin (x))} {{\ left (\ sin (x) – \ cos (x) \ right)} ^ {2}} [/ math]

Expandiendo y simplificando,

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {-2 {\ cos} ^ {2} (x) – 2 {\ sin} ^ {2} (x)} {{\ sin} ^ {2} (x) – 2 \ sin (x) \ cos (x) + {\ cos} ^ {2} (x)} [/ math]

Uso de factorización y las identidades trigonométricas [matemáticas] {\ sin} ^ {2} (x) + {\ cos} ^ {2} (x) = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) [/ math],

[matemáticas] \ displaystyle = -2 \ cdot \ dfrac {1} {1 – 2 \ sin (x) \ cos (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ dfrac {2} {1 – \ sin (2x)} [/ matemáticas]

Espero que esto ayude.

Answer 5

Solo perdóname por las complicaciones.

Multiplique tanto el numerador como el denominador por [matemáticas] \ sen x + \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {2 \ sin x (\ sin x + \ cos x)} {\ sin ^ 2 x- \ cos ^ 2 x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2 \ sin ^ 2 x + 2 \ sin x \ cos x} {- \ cos 2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1- \ cos 2x + \ sin 2x} {- \ cos 2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ seg 2x + 1- \ tan 2x [/ matemáticas]

[matemática] \ dfrac {dy} {dx} = – 2 \ sec 2x \ tan 2x-2 \ sec ^ 2 x [/ matemática]

Parece extraño

Answer 6

CORRECCIONES

y = 2sinx / (sinx-cosx)

= 2 / {{sc) / s}}

= 2 / {1- (c / s)}

y = 2 / (1-cotx)

= 2 (1-cotx) ^ (- 1)

dy / dx = -2 {1-cotx} ^ (- 2) {+ cosec²x}

= -2 {(1 / s²) / {1- (c / s)} ²

= -2 (1 / s²) / {(sc) / s} ² 【(c / s) ‘= (- s²-c²) / s² = -csc²x】

= -2 (1 / s²) * {s² / (sc) ²}

= -2 / (sc) ²

= -2 / {s² + c²-2sc}

O

= -2 / (1-sin2x)

= 2 / (sin2x-1) ■ {EDICIÓN FINAL}

Answer 7

Regla del cociente:

Deje g (x) = 2sinx

y h (x) = sinx – cosx.

Encuentra la derivada.

g ‘(x) = 2cosx

h ‘(x) = cosx – (-sinx) = cosx + sinx

Además de esto en la ecuación.

((2cosx) (sinx – cosx) – (2sinx) (cosx + sinx)) / (sinx – cosx) ^ 2

= (2cosxsinx – 2 (cosx) ^ 2 – 2sinxcosx – 2 (sinx) ^ 2) / (sinx -cosx) ^ 2

= (-2 (cosx) ^ 2 – 2 (sinx) ^ 2) / (sinx – cosx) ^ 2

= -2 ((cosx) ^ 2 + (sinx) ^ 2) / (sinx – cosx) ^ 2

= -2 (1) / (sinx – cosx) ^ 2

= -2 / (sinx – cosx) ^ 2

-2 / (sinx – cosx) ^ 2 debería ser la respuesta.