¿Cuál es la solución de [matemáticas] (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 120 [/ matemáticas]?

Answer 1

De

[matemáticas] 120 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = \ Big ((x + 1) (x + 4) \ Big) \ Big ((x + 2) (x + 3) \ Grande) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ Big ((x ^ 2 + 5x + 5) -1 \ Big) \ Big ((x ^ 2 + 5x + 5) +1 \ Big) \ ldots (1) [/ math]

[matemáticas] = (x ^ 2 + 5x + 5) ^ 2 – 1 [/ matemáticas],

obtenemos [matemáticas] x ^ 2 + 5x + 5 = \ pm 11 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] x ^ 2 + 5x-6 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] x ^ 2 + 5x + 16 = 0 [/ matemáticas]. El primero de ellos da [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = -6 [/ matemáticas]. El segundo de estos da [math] x = \ frac {1} {2} \ big (-5 \ pm \ sqrt {-39} \ big) [/ math].

Es fácil verificar que [matemática] x = 1 [/ matemática] y [matemática] x = -6 [/ matemática] son ambas soluciones; de hecho, [matemáticas] 120 = 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = (- 5) \ cdot (-4) \ cdot (-3) \ cdot (-2) [/ math].

Que el segundo par de conjugados complejos también es una solución puede verificarse mejor reemplazando [math] x ^ 2 + 5x [/ math] por [math] -16 [/ math] en la ecuación. [matemáticas] (1) [/ matemáticas], por ejemplo.

Hay dos soluciones reales, [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = -6 [/ matemáticas], y dos soluciones no reales [matemáticas] x = \ frac {1} {2} \ big (-5 \ pm \ sqrt {-39} \ big) [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

En lugar de ir por fórmulas, piense mejor en un número cuyos 3 números sucesivos cuando se le suman, dan 120.

Algo así como N. (N + 1). (N + 2). (N + 3) = 120; N siendo número natural

Obtendrá solo una solución, cuando N = 2.

2 * 3 * 4 * 5 = 120

Por lo tanto, x = 1

Lo mismo puede suceder cuando los cuatro números son negativos, es decir (-5) * (- 4) * (- 3) * (- 2) = 120

Esto le dará x = -6

Entonces, x = 1 o -6

Answer 3

Tenga en cuenta que [matemática] \ frac {1 + 2 + 3 + 4} {4} = 2.5 [/ matemática]. y deje que [math] y = x-2.5 [/ math]. Entonces la ecuación en cuestión se convierte en

[matemáticas] (y ^ 2-2.25) (y ^ 2-0.25) = 120 [/ matemáticas].

Hacer la aritmética implícita da una ecuación cuadrática en [matemáticas] y ^ 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] y ^ 4 – 2.5 y ^ 2 – 119.4375 = 0, [/ matemáticas]

cuyas soluciones son

[matemáticas] y ^ 2 = 12.25, -9.25. [/ matemáticas]

Los cuatro valores de [math] y [/ math] son

[matemáticas] y = \ pm 3.5 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = \ pm 3.1225i [/ matemáticas].

Sustituya [math] y = x + 2.5 [/ math] para obtener los cuatro valores de [math] x [/ math].

Answer 4

[matemáticas] (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 5x + 4) (x ^ 2 + 5x + 6) = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 5x + 5) ^ 2 – 1 = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 5x + 5 = \ pm 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 2,5) ^ 2 – 1,25 = \ pm 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 2,5) ^ 2 \ in \ {12,25; -10,75 \} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 2,5 \ in \ {\ pm 3,5; \ pm \ sqrt {-10,75} \} [/ math]

[matemáticas] x \ in \ {1; -6; \ pm \ sqrt {-10,75} – 2,5 \} [/ matemáticas]

¡Hecho!

Answer 5

Si piensa por un segundo, debería ver que [matemáticas] 5! = 120. [/ Matemáticas]

¿Por qué es útil esto? Bueno, ¿qué es [matemáticas] 5! [/ math] definido como?

[matemáticas] 5! = 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 120 = 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 [/ math]

Por lo tanto, podemos ver que [matemáticas] x + 4 = 5 [/ matemáticas], [matemáticas] x + 3 = 4 [/ matemáticas], [matemáticas] x + 2 = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] x + 1 = 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, una solución fácil es [matemática] x = 1 [/ matemática] inmediatamente sin sufrir ninguna tontería polinómica.

Answer 6

Estamos tratando de encontrar las raíces de [matemáticas] y = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) -120 [/ matemáticas]

Si queremos usar el teorema de la raíz racional, todo lo que realmente nos importa es si el coeficiente principal y la constante:

[matemáticas] y = x ^ 4 + \ cdots + 4! -120 = x ^ 4 + \ cdots-96 [/ matemáticas]

Entonces todas las raíces racionales estarán contenidas en:

1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96, -96, -48, -32, -24, -16, -12, -8, -6, -4 , -3, -2, -1

(Si cometí un error, dígame, pero todas las raíces racionales están ahí)

Después de probarlos todos, [matemáticas] x = -6 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] son ​​raíces.

Expandiendo [matemática] (x + 6) (x-1) [/ matemática] a [matemática] x ^ 2 + 5x-6 [/ matemática] y expandiendo [matemática] (x + 1) (x + 2) (x +3) (x + 4) -120 [/ matemática] para factorizar [matemática] (x + 6) (x-1) [/ matemática] con división larga polinómica:

[matemáticas] y = (x + 6) (x-1) (x ^ 2 + 5x + 16) [/ matemáticas]

Resolver [matemáticas] x ^ 2 + 5x + 16 [/ matemáticas] usando la fórmula cuadrática da el resto de las soluciones, entonces las soluciones a [matemáticas] (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x +4) = 120 [/ matemáticas] son:

[matemáticas] x = -6 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-5} {2} + \ frac {\ sqrt {39}} {2} i [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-5} {2} – \ frac {\ sqrt {39}} {2} i [/ matemáticas]

Answer 7

Cuatro soluciones, dos reales y dos complejas.

Tenga en cuenta que (x + 1) (x + 4) = x ^ 2 + 5x + 4

(x + 2) (x + 3) = x ^ 2 + 5x + 6

Si ponemos y = x ^ 2 + 5x + 5, entonces x ^ 2 + 5x + 4 = y-1 y x ^ 2 + 5x + 6 = y + 1

Entonces la ecuación se convierte en (y-1) (y + 1) = 120 o y ^ 2–1 = 120 o y ^ 2 = 121

Primera solución y1 = 11

x ^ 2 + 5x + 5 = 11 da x ^ 2 + 5x-6 = 0 x1 = 1, x2 = -6

El segundo valor de y da

x ^ 2 + 5x + 5 = -11 o x ^ 2 + 5x + 16 = 0. Esto produce dos soluciones complejas.

x3 = -5 / 2 + isqrt (39) / 2, x4 = -5 / 2-isqrt (39) / 2

Answer 8

#BeginnerMotivation: no recuerdo todas mis habilidades de álgebra A + … 🙂

Mi “ir a” sugiere que dividiríamos “x” de (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4), y luego dividiríamos “x” de los 120.

Esto haría: 1 * 2 * 3 * 4 = 120 / x

… 24 = 120 / x

… 24x = 120

… X = 5

Me doy cuenta de que he “calculado” la respuesta incorrecta. ¿Alguien sería tan amable y explicaría la mejor manera de “repensar” esto?

Gracias de nuevo. Me encanta este blog

Answer 9

Comenzando de manera similar, la reagrupación da (x² + 5x + 4) (x² + 5x + 6) = 120. Deje y = x² + 5x + 4. La ecuación se convierte en y (y + 2) = 120 o y² + 2y-120 = 0, de donde y = -12 o 10. Termine resolviendo x² + 5x + 4 = -12 y x² + 5x + 4 = 10.

Answer 10

2 * 3 * 4 * 5 = 120

-2 * -3 * -4 * -5 = 120

2 respuestas obvias son x = 1, -6

(y-1) y (y + 1) (y + 2) = 120

(y + 2) (y²-1) (y) = 120 = {y ^ 4 + 2y³-y²-2y}… y = x + 2 = 3, -4

(y² + y-12) (y² + y + 10) = 0

y = (- 1 ± i√39) / 2 = → x = y-2 = (- 5 ± i√39) / 2

Answer 11

120 = 5 × 4 × 3 × 2

120 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)

Comparando tanto la ecuación

Obtenemos

x + 4 = 5 / x + 3 = 4

x = 1 / x = 1

Por lo tanto, x = 1 es la solución requerida

Answer 12

Considerando solo los valores enteros.

Una respuesta intuitiva es x = 1 porque (1 + 1) (1 + 2) (1 + 3) (1 + 4) = 2 * 3 * 4 * 5 = 120.

Pero también hay un valor negativo de x que produce el producto (-5) (- 4) (- 3) (- 2) = 120 y eso es x = -6.

Cualquier otro valor producirá un producto demasiado grande o demasiado pequeño (x = 0, -5) o cero (x = -1, -2, -3, -4).

Answer 13

120 puede factorizarse en [matemática] 2 ^ 3 * 3 * 5 [/ matemática] o [matemática] 2 * 3 * 4 * 5 [/ matemática] tan claramente [matemática] x = 1 [/ matemática]

Answer 14

121 que está cerca de 120 tiene una raíz cuadrada de 11. Compare 9 y 16, creo que 9 está más cerca de 11. Así que creo que x + 2 debería ser 3. X debería ser 1. Marque 2 * 3 * 4 * 5 = 12 * 10 = 120.

Answer 15

x = 1

Answer 16

Siempre trato primero con la solución más simple. 0 … 1 …

y 1 obras

Answer 17

120 = 2x3x4x5

Entonces, x = 1

Answer 18

Sugerencia: la factorización de 120 es la clave

Answer 19

120 = 5 × 4 × 3 × 2

Comparándolo con 120 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4), obtenemos x = 1