F (x) = 2x ^ n + ax ^ 2-6 se divide por (x-1), el resto es -7. ¿Cuál es el valor de a y n? ¿Cómo se escribe la función polinómica por completo?

Answer 1

Se nos “dice” que [matemáticas] \ frac {f (x)} {x-1} = g (x) – \ frac {7} {x-1} [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] a [/ math] y [math] n, [/ math] y debemos encontrarlos. Multiplicar ambos lados por [matemática] x-1 [/ matemática] da [matemática] f (x) = (x-1) g (x) -7 [/ matemática] y por lo tanto [matemática] f (1) = – 7 [/matemáticas]. Este es el “teorema del resto” mencionado en la respuesta anterior. Esto le permite encontrar [matemática] a [/ matemática] pero no proporciona información sobre [matemática] n [/ matemática].

Sin embargo, ¿qué sucede si no sabe si alguna [matemática] a [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] existía satisfaciendo la condición en la declaración del problema? Es posible que podamos encontrar [math] a [/ math] como se indicó anteriormente, pero aún no sabemos cuántas opciones de [math] n [/ math] hay, si hay alguna, que satisfagan la condición del problema. ¿Cómo resolverías el problema por completo?

Usar prueba y error hasta que vea un patrón es un buen enfoque. Estos son los resultados que realizan la división larga [matemática] x-1) \ overline {2x ^ n + ax ^ 2-6} [/ matemática] explícitamente para varios [matemática] n [/ matemática]:

[matemáticas] n = 0 \ implica 2x ^ 0 + ax ^ 2-6 = (x-1) [ax + a] + a-4 [/ matemáticas]

[matemática] n = 1 \ implica 2x ^ 1 + ax ^ 2-6 = (x-1) [ax + (a + 2)] + a-4 [/ matemática]

[matemáticas] n = 2 \ implica 2x ^ 2 + ax ^ 2-6 = (x-1) [(a + 2) x + (a + 2)] + a-4 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 3 \ implica 2x ^ 3 + ax ^ 2-6 = (x-1) [2x ^ 2 + (a + 2) x + (a + 2)] + a-4 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 4 \ implica 2x ^ 4 + ax ^ 2-6 = (x-1) [2x ^ 3 + 2x ^ 2 + (a + 2) x + (a + 2)] + a-4 [/ matemáticas]

Claramente, elegir [matemática] a = -3 [/ matemática] da el resto [matemática] a-4 = -7 [/ matemática] y esto funciona para todos [matemática] n = 0,1,2,3,4. [/ math] Entonces, el problema se resuelve para [math] n = 0,1,2,3,4. [/ math] Por inducción, puede mostrar que se cumple para todos los [math] n. [/ math] más grandes

Hipótesis inductiva: supongamos para algunos [matemática] n \ geq 4 [/ matemática] que

[matemáticas] 2x ^ n + ax ^ 2-6 = (x-1) [2x ^ {n-1} +… + 2x ^ 2 + (a + 2) x + (a + 2)] + a-4 [ /matemáticas]

Luego, agregue [matemática] 2x ^ {n + 1} -2x ^ n = (x-1) 2x ^ n [/ matemática] a ambos lados y simplifique para obtener:

[matemáticas] 2x ^ {n + 1} + ax ^ 2-6 = (x-1) [2x ^ n +… + 2x ^ 2 + (a + 2) x + (a + 2)] + a-4 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la expresión es válida para [math] n + 1 [/ math], así que, por inducción, esta expresión es válida para [math] n \ geq 0. [/ Math]

No probé [matemáticas] n <0 [/ matemáticas]. 🙂

Answer 2

Según el teorema del resto,

[matemáticas] f (1) = – 7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (1) ^ n + a (1) ^ 2-6 = -7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 + a-6 = -7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] a = -3 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos

[matemáticas] f (x) = 2x ^ n-3x ^ 2-6 \ tag * {} [/ matemáticas]

Pero ninguna información nos da el valor de no dar pistas de ninguna manera.

Answer 3

El teorema del resto establece que si f (x) se divide por xa, el resto es f (a).

Así, 2x ^ n + ax ^ 2 – 6 dividido por x- 1 dará un resto igual a la función con 1 sustituido por x.

Esto da 2 (1) ^ n + a (1) ^ 2 – 6

= 2 + a – 6 = -7

a – 4 = -7

a = -3

Ahora el polinomio se ve así: f (x) = 2x ^ n -3x ^ 2 -6 y el problema sigue siendo calcular n.

Por mera intuición, se puede ver que a partir de una posible división larga, el último término “-6” solo puede convertirse en el resto, “-7” por una posible resta de 1 que resultaría de un múltiplo escalar del divisor “x- 1 “. El múltiplo del divisor tendrá su mayor poder de “x” como “1” y solo puede ser eliminado por una unidad de poder de “x” en el dividendo para eventualmente lograr un resto escalar. Por lo tanto, el n será igual a 1 para que se pueda lograr la unidad de potencia de x.

El polinomio es así f (x) = -3x ^ 2 + 2x – 6