Como han dicho otros, el último dígito de [matemática] 11 ^ {11 ^ {11}} [/ matemática] es 1. Es fácil ver cómo [matemática] 11 ^ n [/ matemática] siempre termina en 1.
Así que vamos a ser un poco más complicados, para ver cómo resolver este tipo de problema en general.
¿Cuál es, por ejemplo, el último dígito de [matemáticas] 22 ^ {22 ^ {22}} [/ matemáticas]?
La respuesta de Sebastian Bozlee sugirió al final mirar la aritmética modular, y ese es el camino a seguir aquí.
- ¿Cómo evalúo [math] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ 3} [/ math]?
- ¿Cuál es la derivada de [matemáticas] y = \ dfrac {2 \ sin x} {\ sin x – \ cos x} [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el dominio de y = 14-x / ln (x ^ 2-4)?
- ¿Cuál es la diferencia entre [math] \ Delta [/ math] y ‘d’ (en derivación)? ¿Por qué no puedo decir [matemáticas] \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} [/ matemáticas]?
- F (x) = 2x ^ n + ax ^ 2-6 se divide por (x-1), el resto es -7. ¿Cuál es el valor de a y n? ¿Cómo se escribe la función polinómica por completo?
Hay un par de cosas que ayudan aquí. Por ejemplo, en aritmética modular tenemos la propiedad que [math] (a \ equiv b \ mod c) \ implica (a ^ n \ equiv b ^ n \ mod c) [/ math], que es útil. También tenemos [matemáticas] a * 10 + b \ equiv b \ mod 10 [/ matemáticas], por lo que cualquier número es equivalente, módulo 10, a su último dígito (decimal).
Entonces, como [math] 22 \ equiv 2 \ mod 10 [/ math], también tenemos [math] 22 ^ {22 ^ {22}} \ equiv 2 ^ {22 ^ {22}} \ mod 10 [/ math] , lo que simplifica el problema.
Ahora podemos ver las potencias de 2 (módulo 10) y ver si hay algún patrón:
[matemáticas] \ begin {align}
2 ^ 1 & = 2 & \ equiv 2 \ mod 10 \\
2 ^ 2 & = 4 & \ equiv 4 \ mod 10 \\
2 ^ 3 & = 8 & \ equiv 8 \ mod 10 \\
2 ^ 4 & = 16 & \ equiv 6 \ mod 10 \\
2 ^ 5 & = 32 & \ equiv 2 \ mod 10
\ end {align} [/ math]
Después de esto, debería repetirse para tener [matemáticas] 2 ^ {4k + n} \ equiv 2 ^ {4l + n} \ equiv 2 ^ {4 + n} \ mod 10 [/ matemáticas], así que todos Realmente lo que tengo que hacer ahora es resolver [matemáticas] 22 ^ {22} \ equiv n \ mod 4 [/ matemáticas] para [matemáticas] n [/ matemáticas].
Eso resulta ser fácil: [matemáticas] 22 ^ {22} \ equiv 2 ^ {22} \ equiv 4 (2 ^ {20}) \ equiv 0 (2 ^ {22}) \ equiv 0 \ mod 4 [/ matemáticas].
Lo que significa que [matemática] n = 0 [/ matemática], entonces [matemática] 22 ^ {22 ^ {22}} \ equiv 2 ^ {22 ^ {22}} \ equiv 2 ^ {4k + 0} \ equiv 2 ^ 4 \ equiv 6 \ mod 10. [/ matemáticas]
Entonces, el último dígito de [math] 22 ^ {22 ^ {22}} [/ math] es 6.
