¿Cómo evalúo [math] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ 3} [/ math]?

Answer 1

Para evitar las complejidades de los poderes de [matemáticas] a [/ matemáticas], dejemos que [matemáticas] x = ay [/ matemáticas]; [matemáticas] dx = ady [/ matemáticas]

Entonces I = [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac 1 {a ^ 5} \ int \ dfrac {dy} {(y ^ 2–1) ^ 3} [/ matemáticas]

Ahora [math] \ dfrac 1 {y ^ 2–1} = \ dfrac 12 \ left (\ dfrac 1 {y-1} – \ dfrac 1 {y + 1} \ right) [/ math] Esto puede representarse por [matemáticas] pq = \ dfrac {pq} 2 [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] (pq) ^ 3 = \ dfrac 18 (pq) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac 18 (p ^ 3-q ^ 3–3pq (pq)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac 18 (p ^ 3-q ^ 3–3 \ dfrac {pq} 2 (pq)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac 1 {16} (2p ^ 3-2q ^ 3–3 (p ^ 2-2pq + q ^ 2)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac 1 {16} (2p ^ 3-2q ^ 3–3 p ^ 2 + 6pq-3q ^ 2)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac 1 {16} (2p ^ 3-2q ^ 3–3 p ^ 2-3q ^ 2 + 3 (pq)) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ dfrac {1} {(y ^ 2–1) ^ 3} = \ dfrac 1 {16} \ left \ {\ dfrac 2 {(y-1) ^ 3} – \ dfrac 2 {(y +1) ^ 3} – \ dfrac 3 {(y-1) ^ 2} – \ dfrac 3 {(y + 1) ^ 2} + \ dfrac 3 {y-1} – \ dfrac 3 {y + 1} \ right \} [/ math]

Entonces [matemáticas] I = \ dfrac 1 {16 a ^ 5} \ left \ {- \ dfrac 1 {(y-1) ^ 2} + \ dfrac 1 {(y + 1) ^ 2} + \ dfrac 3 { y-1} – \ dfrac 3 {y + 1} + 3 \ ln (y-1) -3 \ ln (y + 1) \ right \} + C [/ math]

Sustituyendo por y,

[matemáticas] I = \ boxed {\ dfrac 1 {16 a ^ 5} \ left \ {\ dfrac {a ^ 2} {(x + a) ^ 2} – \ dfrac {a ^ 2} {(xa) ^ 2} + \ dfrac {3a} {xa} – \ dfrac {3a} {x + a} + 3 \ ln \ left | \ dfrac {xa} {x + a} \ right | \ right \} + C} [ /matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] I = \ int \ frac {dx} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {x ^ 2-a ^ 2} = \ frac {1} {2a} \ left (\ frac {1} {xa} – \ frac {1} {x + a} \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {1} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ 3} = \ frac {1} {8a ^ 3} \ left (\ frac {1} {xa} – \ frac {1} {x + a} \ right) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {8a ^ 3} \ left [\ frac {1} {(xa) ^ 3} – \ frac {3} {(xa) ^ 2 (x + a)} + \ frac {3} {(xa) (x + a) ^ 2} – \ frac {1} {(x + a) ^ 3} \ right] [/ math]

Tomando las fracciones parciales del segundo y tercer término, obtenemos,

[matemáticas] – \ frac {3} {(xa) ^ 2 (x + a)} = \ frac {3} {4a ^ 2} \ left (\ frac {1} {xa} \ right) – \ frac { 3} {2a} \ left (\ frac {1} {(xa) ^ 2} \ right) – \ frac {3} {4a ^ 2} \ left (\ frac {1} {x + a} \ right) , [/ math] y

[matemáticas] \ frac {3} {(xa) (x + a) ^ 2} = – \ frac {3} {4a ^ 2} \ left (\ frac {1} {x + a} \ right) – \ frac {3} {2a} \ left (\ frac {1} {(x + a) ^ 2} \ right) + \ frac {3} {4a ^ 2} \ left (\ frac {1} {xa} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {1} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ 3} = \ frac {1} {8a ^ 3} \ left [\ frac {1} {(xa) ^ 3 } – \ frac {3} {(xa) ^ 2 (x + a)} + \ frac {3} {(xa) (x + a) ^ 2} – \ frac {1} {(x + a) ^ 3} \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {8a ^ 3} \ left [\ frac {1} {(xa) ^ 3} – \ frac {3} {2a} \ left (\ frac {1} {(xa) ^ 2} \ right) + \ frac {3} {2a ^ 2} \ left (\ frac {1} {xa} \ right) – \ frac {3} {2a ^ 2} \ left (\ frac {1} {x + a} \ right) – \ frac {3} {2a} \ left (\ frac {1} {(x + a) ^ 2} \ right) – \ frac {1} {(x + a) ^ 3} \ right] [/ math]

Al integrar cada uno de estos términos individualmente, obtenemos,

[matemáticas] I = \ frac {1} {8a ^ 3} \ left [- \ frac {1} {2 (xa) ^ 2} + \ frac {3} {2a} \ left (\ frac {1} { xa} \ right) + \ frac {3} {2a ^ 2} \ log (xa) – \ frac {3} {2a ^ 2} \ log (x + a) + \ frac {3} {2a} \ left (\ frac {1} {x + a} \ right) + \ frac {1} {2 (x + a) ^ 2} \ right] + C [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {8a ^ 4} \ left [\ frac {3x ^ 3-5a ^ 2x} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ 2} \ right] – \ frac {3} {16a ^ 5} \ log \ left (\ frac {xa} {x + a} \ right) + C [/ math]