¿Por qué, en este ejemplo, (81/16) ^ -3 / 4 el -3/4 se vuelve positivo cuando intercambiamos el denominador con el numerador y obtenemos (16/81) ^ 3/4, y por qué lo intercambiamos? ?

Answer 1

Los matemáticos son juguetones y perezosos. La alegría hace que se resistan a pensar como son. Y la pereza se trata de evitar demasiado trabajo o pensar demasiado. Por eso hacemos lo que hacemos.

Hay dos cosas ‘mal’ con

[matemáticas] (\ dfrac {81} {16}) ^ {\ frac {-3} {4}} [/ matemáticas]

Primero, la fracción es impropia. Segundo, el exponente tiene un signo negativo. ¡Alguien está tratando de hacer que un matemático funcione! El matemático está listo para el juego.

Echa un vistazo al exponente.

[matemáticas] \ frac {-3} {4} = -1 \ cdot (\ frac {3} {4}) [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] (\ dfrac {81} {16}) ^ \ frac {-3} {4} = (\ dfrac {81} {16}) ^ {- 1 \ cdot (\ frac {3} {4}) }[/matemáticas]

Y el producto exponencial se puede reagrupar,

[matemáticas] (\ dfrac {81} {16}) ^ \ frac {-3} {4} = ((\ dfrac {81} {16}) ^ {- 1}) ^ {\ frac {3} {4 }}[/matemáticas]

Como otros nos han recordado, [matemáticas] a ^ {- 1} = \ frac {1} {a} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] (\ dfrac {81} {16}) ^ \ frac {-3} {4} = (\ dfrac {16} {81}) ^ {\ frac {3} {4}} [/ matemáticas]

Una fracción propia y un exponente positivo.

Answer 2

Consideremos y demostremos una de las propiedades básicas de los poderes:

[math] a ^ {nm} = \ frac {a ^ n} {a ^ m}, a> 0, n, m \ in \ mathbb {N} [/ math]

Está:

[matemáticas] \ frac {a ^ n} {a ^ m} = \ frac {\ overbrace {a \ cdot a \ cdot… \ cdot a} ^ {n}} {\ underbrace {a \ cdot a \ cdot… \ cdot a} _m}. [/ math]

Borrando todas las a comunes del numerador y el denominador, terminamos con [math] nm [/ math] a’s, por lo tanto, tenemos [math] a ^ {nm}. [/ Math]

Al conectar [math] n = 0 \: [/ math] obtenemos que [math] \: a ^ {0-m} = \ frac {a ^ 0} {a ^ m} [/ math] [math] [ /matemáticas]

[matemáticas] \ overset {a ^ 0 = 1} {\ Leftrightarrow} a ^ {- m} = \ frac {1} {a ^ m} = \ left (\ frac {1} {a} \ right) ^ m \ Leftrightarrow a ^ {- m} = \ left (\ frac {1} {a} \ right) ^ m [/ math]

Volviendo a su problema, es: [matemáticas] \ frac {1} {\ frac {81} {16}} = \ frac {16} {81}. [/ Matemáticas] Entonces, usando la propiedad anterior obtenemos el resultado deseado.

Answer 3

Esto se debe a que [matemáticas] a ^ {- b} = \ frac {1} {a ^ b} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] {\ frac {81} {16}} ^ {- \ frac {3} {4}} = \ frac {1} {(\ frac {81} {16}) ^ {\ frac {3 } {4}}} [/ matemáticas]. Entonces hacemos [matemáticas] \ frac {1} {(\ frac {81} {16}) ^ {\ frac {3} {4}}} = \ frac {1} {\ frac {81 ^ \ frac {3 } {4}} {16 ^ \ frac {3} {4}}} [/ math]. Ahora, eso es igual a [matemáticas] \ frac {1} {\ frac {81 ^ \ frac {3} {4}} {16 ^ \ frac {3} {4}}} = \ frac {16 ^ \ frac {3 } {4}} {81 ^ \ frac {3} {4}} [/ matemáticas]. Y finalmente, revertimos el paso 3: [matemáticas] \ frac {16 ^ \ frac {3} {4}} {81 ^ \ frac {3} {4}} = (\ frac {16} {81}) ^ \ frac {3} {4} [/ math].