¿Cómo puedo encontrar la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 hasta el infinito? Educación te da un futuro mejor

En el sistema numérico natural general, el valor seguirá siendo infinito.

No hay forma de ser -1/12

Sí, sé cómo puede ser -1/12.

Ya he respondido cómo puede ser en

¿Cuánto tiempo lleva contar hasta mil millones?
¿Cuántos números de un solo dígito puedes contar en un segundo?
¿Cuál es la mejor manera de probar un número par para averiguar si es primo?
¿Cuál es el número de 3 dígitos que se puede hacer al sumar tres números del 1 al 9? Ninguno de los números debe repetirse.
Se seleccionan tres monedas de una colección que consta de 2 centavos, 2 monedas de cinco centavos, 2 monedas de diez centavos, 2 cuartos y 2 medios dólares. ¿Cuántas sumas diferentes son posibles?

La respuesta de Vedavyas Velaga a ¿Cómo podemos probar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 … hasta que el infinito sea igual a – (1/12)?

Ahora ve por qué está mal

Recientemente, un resultado muy extraño ha estado dando vueltas. Dice que cuando sumas todos los números naturales

1 + 2 + 3 + 4 +…

entonces la respuesta a esta suma es -1/12. La idea apareció en un video de Numberphile (ver más abajo), que afirma probar el resultado y también dice que se usa por todas partes en física. La gente encontró la idea tan sorprendente que incluso llegó al New York Times . Entonces, ¿qué significa todo esto?

Las matemáticas

En primer lugar, la suma infinita de todo el número natural no es igual a -1/12. Puede convencerse fácilmente de esto ingresando en su calculadora las sumas parciales

y así. los

hacerse más grande y más grande cuanto más grande

obtiene, es decir, los números más naturales que incluye. De hecho, puedes hacer

tan grande como quieras eligiendo

lo suficientemente grande. Por ejemplo, para

usted obtiene

y para

usted obtiene

Por eso los matemáticos dicen que la suma

diverge al infinito. O, para decirlo más libremente, que la suma es igual al infinito.

Srinivasa Ramanujan

Entonces, ¿de dónde viene el -1/12? El resultado incorrecto en realidad apareció en el trabajo del famoso matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1913 (consulte este artículo para obtener más información). Pero Ramanujan sabía lo que estaba haciendo y tenía una razón para escribirlo. Había estado trabajando en lo que se llama la función zeta de Euler . Para entender qué es eso, primero considere la suma infinita

Puede reconocer esto como la suma que obtiene cuando toma cada número natural, lo eleva al cuadrado y luego toma el recíproco:

Ahora esta suma no diverge. Si toma la secuencia de sumas parciales como hicimos anteriormente,

entonces los resultados que obtienes se acercan arbitrariamente, sin exceder nunca, el número

Los matemáticos dicen que la suma converge a

, o más libremente, que es igual

Ahora, ¿qué sucede cuando en lugar de elevar esos números naturales en el denominador a la potencia de 2, lo elevas a otra potencia?

? Resulta que la suma correspondiente

converge a un valor finito siempre que el poder

es un número mayor que

. Para cada

, la expresion

tiene un valor finito bien definido.

es lo que se llama una función , y se llama función zeta de Euler después del prolífico matemático del siglo XVII Leonhard Euler.

Hasta aquí todo bien. Pero, ¿qué sucede cuando conectas un valor de

eso es menos de 1? Por ejemplo, ¿qué pasa si enchufas

? Veamos.

Entonces recuperas nuestra suma original, que, como sabemos, diverge. Lo mismo es cierto para cualquier otro valor de

menor o igual a 1: la suma diverge.

Extender la función zeta de Euler

Tal como está la función zeta de Euler S (x) se define para números reales x que son mayores que 1. Los números reales son parte de una familia más grande de números llamados números complejos . Y mientras que los números reales corresponden a todos los puntos a lo largo de una línea infinitamente larga, los números complejos corresponden a todos los puntos en un plano, que contiene la línea de números reales. Ese plano se llama plano complejo. Del mismo modo que puede definir funciones que toman números reales como entrada, puede definir funciones que toman números complejos como entrada.

Una cosa sorprendente sobre las funciones de números complejos es que si conoce la función suficientemente bien para un conjunto de entradas, entonces (hasta algunos detalles técnicos) puede conocer el valor de la función en cualquier otro lugar del plano complejo. Este método de extender la definición de una función se conoce como continuación analítica . La función zeta de Euler se define para números reales mayores que 1. Dado que los números reales también son números complejos, podemos considerarla como una función compleja y luego aplicar la continuación analítica para obtener una nueva función, definida en todo el plano pero de acuerdo con Euler función zeta para números reales mayores que 1. Esa es la función zeta de Riemann.

Pero también hay otra cosa que puedes hacer. Usando algunas matemáticas de gran potencia (conocidas como análisis complejo , vea el recuadro), hay una manera de extender la definición de la función zeta de Euler a números

menor o igual a 1 de una manera que le da valores finitos. En otras palabras, hay una manera de definir una nueva función, llámela

para que por

y para

la función

tiene valores finitos bien definidos. Este método de extensión se llama continuación analítica y la nueva función que obtienes se llama función zeta de Riemann , en honor al matemático del siglo XVIII Bernhard Riemann. (Hacer que esta nueva función le proporcione valores finitos para

implica restar inteligentemente otra suma divergente, de modo que el infinito de la primera suma divergente menos el infinito de la segunda suma divergente le da algo finito).

OKAY. Entonces ahora tenemos una función

que concuerda con la función zeta de Euler

cuando conectas valores

. Cuando conectas valores

, la función zeta le ofrece un resultado finito. ¿Qué valor obtienes cuando enchufas

en la función zeta? Lo has adivinado:

Si ahora cometes el error de creer que

para

, entonces obtienes la expresión (incorrecta)

Esta es una forma de darle sentido a la misteriosa expresión de Ramanujan.

El truco

Entonces, ¿cómo “probaron” las personas en el video de Numberphile que todos los números naturales suman -1/12? La verdadera respuesta es que no lo hicieron. Ver el video es como mirar a un mago y tratar de verlo deslizar al conejo en el sombrero. El primer paso de la “prueba” intenta persuadirte de algo bastante tonto, a saber, que la suma infinita

es igual a

El video no se detiene mucho en esto y parece implicar que es obvio. Pero echemos un vistazo más de cerca para ver si tiene sentido. Supongamos que la suma

tiene un valor finito y lo llamamos

. Agregando

para sí mismo obtienes la suma infinita

Pero esta es solo la suma original, lo que implica

Ya que

resulta que

Lo cual no tiene sentido. Entonces la afirmación de que la suma infinita

puede tomarse igual a 1/2 no es correcto. De hecho, puede derivar todo tipo de resultados jugando con sumas infinitas que divergen. ¡Es un truco!

Los físicos

Pero, ¿cómo este curioso e incorrecto resultado se convirtió en un libro de texto de física, como se muestra en el video? Aquí es donde las cosas realmente se ponen interesantes. Suponga que toma dos placas metálicas conductoras y las coloca en el vacío para que estén paralelas entre sí. Según la física clásica, no debería haber ninguna fuerza neta que actúe entre las dos placas.

Ilustración del efecto Casimir. Imagen: Emok.

Pero la física clásica no tiene en cuenta los efectos extraños que ves cuando miras el mundo a escalas muy pequeñas. Para hacer eso, necesitas física cuántica, que nos dice muchas cosas muy extrañas. Una de ellas es que el vacío no está vacío, sino que está lleno de actividad. Las llamadas partículas virtuales aparecen y desaparecen todo el tiempo. Esta actividad proporciona la llamada energía de punto cero : la energía más baja que puede tener algo nunca es cero (ver aquí para más detalles).

Cuando intentas calcular la densidad de energía total entre las dos placas usando las matemáticas de la física cuántica, obtienes la suma infinita

Esta suma infinita también es lo que obtienes cuando conectas el valor

en la función Euler zeta:

Eso es lamentable, porque la suma diverge (lo hace incluso más rápido que

), lo que implicaría una densidad de energía infinita. Eso es obviamente una tontería. Pero, ¿qué pasa si asume descaradamente que la suma infinita es igual a la función zeta de Riemann, en lugar de la función zeta de Euler, evaluada en

? Bueno, entonces obtienes una densidad de energía finita. Eso significa que debería haber una fuerza atractiva entre las placas metálicas, lo que también parece ridículo, ya que la física clásica sugiere que no debería haber fuerza.

Pero aquí está la sorpresa. Cuando los físicos hicieron el experimento, descubrieron que la fuerza existía, y correspondía a una densidad de energía exactamente igual a

Este sorprendente resultado físico se conoce como el efecto Casimir, por el físico holandés Hendrik Casimir.

Tómese un momento para asimilar esto. La física cuántica dice que la densidad de energía debería ser

Eso no tiene sentido, pero los experimentos muestran que si (erróneamente) considera esta suma como la función zeta

evaluado en

, obtienes la respuesta correcta. Entonces parece que la naturaleza ha seguido las ideas que explicamos anteriormente. Extendió la función zeta de Euler para incluir valores para

que son menos de 1, restando hábilmente el infinito, y así se obtuvo un valor finito. Eso es notable!

La razón por la que vemos

en el video de Numberphile y el libro de texto de física, en lugar de

es que cuando imagina que el efecto Casimir ocurre en una dimensión (a lo largo de una línea en lugar de en 3D), la densidad de energía que calcula es

más bien que

Entonces, ¿por qué la gente de Numberphile publicitó este extraño “resultado”? Ciertamente conocen la continuación analítica que hace que la función esté bien definida, pero eso fue algo demasiado técnico para su video. Sabiendo que tenían el método de continuación analítico, que haría que el resultado final estuviera bien, escondido en su bolsillo trasero, continuaron con su juego de manos. Al hacerlo, obtuvieron más de un millón de visitas y el mundo habló sobre las funciones zeta y las matemáticas. Por esto deben ser felicitados. La matemática de las funciones zeta es fantástica y lo que describimos aquí es solo el comienzo de una larga lista de increíbles propiedades matemáticas. Al llevar las matemáticas y la física al público, siempre tenemos que tomar decisiones sobre lo que dejamos de lado y lo que explicamos. Dónde dibujar esa línea es algo que todos tenemos que dejar a nuestras conciencias.