Si [matemática] 0.5 ^ n = 0.125 ^ 2 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] n ^ {0.5} [/ matemática]?

Answer 1

Asumiré que la pregunta es esta:

Si [matemática] 0.5 ^ n = 0.125 ^ 2 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] n ^ {0.5} [/ matemática]?

[matemática] \ left (\ dfrac {5} {10} \ right) ^ n = \ left (\ dfrac {125} {1000} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemática] \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ n = \ left (\ dfrac {1} {8} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemática] \ izquierda (\ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ n = \ dfrac {1} {64} [/ matemática]

Facturé esto porque quería usar logaritmos para resolver este problema, aunque había una solución más fácil.

[matemática] \ izquierda (\ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ n = \ dfrac {1} {2 ^ 6} [/ matemática]

[matemáticas] \ ln \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ n = \ ln \ dfrac {1} {2 ^ 6} [/ math]

Usando la identidad [math] \ log_a b ^ c = c \ log_a b [/ math]

[matemáticas] n \ ln \ dfrac {1} {2} = \ ln \ dfrac {1} {2 ^ 6} [/ matemáticas]

Uso de la identidad [math] \ log_a \ frac {1} {b} = – \ log_a b [/ math]

[matemáticas] -n \ ln 2 = – \ ln 2 ^ 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = \ dfrac {\ ln 2 ^ 6} {\ ln 2} [/ matemáticas]

Uso de la identidad [math] \ log_a b = \ log_c b \ div \ log_c a [/ math]

[matemáticas] n = \ log_2 2 ^ 6 [/ matemáticas]

Por la definición de logaritmo, [math] \ log_a a ^ b = b [/ math]

[matemáticas] n = 6 [/ matemáticas]

Podría haber llegado a esta respuesta un poco más rápido, pero pensé que sería una buena oportunidad para mostrar muchas de las propiedades del logaritmo.

Recordemos que queremos saber [matemáticas] n ^ {0.5} [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ {0.5} = \ sqrt {n} = \ sqrt {6} [/ matemáticas]

Editar: como mencionó el usuario de Quora en los comentarios, la forma más fácil de resolver para n sería esta:

[matemática] \ izquierda (\ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ n = \ dfrac {1} {2 ^ 6} [/ matemática]

[matemática] \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ n = \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ 6 [/ math]

Tenga en cuenta que todo es igual excepto [matemática] n [/ matemática] y [matemática] 6 [/ matemática], por lo tanto, no es difícil concluir que [matemática] n = 6 [/ matemática]. Formalmente, podría tomar la base de registro 1/2 de ambos lados para mostrar que:

[matemáticas] \ log_ \ frac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ n = \ log_ \ frac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {2 } \ right) ^ 6 [/ math]

Por la definición de logaritmo, [math] \ log_a a ^ b = b [/ math]

[matemáticas] n = 6 [/ matemáticas]

Answer 2

Si la ecuación se cumple, aplique una función útil en ambos lados. Cuando veo exponentes que quiero “derribar”, inmediatamente pienso en [math] ln [/ math]. Como ambos lados son positivos, entonces aplicar [math] ln [/ math] es seguro:
[matemáticas] 0.5 ^ n = 0.125 ^ 2 [/ matemáticas] iff [matemáticas] ln (0.5 ^ n) = ln (0.125 ^ 2) [/ matemáticas]

Recuerde que: [matemáticas] ln (a ^ b) = b ln (a) [/ matemáticas]. Entonces: [matemáticas] nln (0.5) = 2ln (0.125) [/ matemáticas].

Reordenando: [matemática] n = \ frac {2ln (0.125)} {ln (0.5)} [/ matemática]
Aplicando un poder de [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas]: [matemáticas] n ^ {0.5} = (\ frac {2ln (0.125)} {ln (0.5)}) ^ {0.5} = \ sqrt {6} [/ matemáticas]

Answer 3

-A2A-

Asumiré que tu pregunta es esta:

Si (0.5) ^ n = (0.125) ^ 2, ¿cuál es el valor de n ^ 0.5?

Para comenzar, reconoce:

.5 = 1/2

.125 = 1/8

Sustituir:

(1/2) ^ n = (1/8) ^ 2

Nota:

(1/2) ^ 3 = (1/8)

Es decir,

(1/2) ^ n = ((1/2) ^ 3) ^ 2

Simplificar:

(1/2) ^ n = (1/2) ^ 6

Aplique log [1/2] a cada lado:

log [1/2] (1/2) ^ n = log [1/2] (1/2) ^ 6

Regla de poder:

n log [1/2] (1/2) = 6log [1/2] (1/2)

n = 6

¿Cuál es el valor de n ^ .5?

n ^ .5 = 6 ^ .5 = sqrt (6)

NOTA: Este proceso se puede simplificar en el siguiente paso:

(1/2) ^ n = (1/2) ^ 6

Podemos ver que tanto n como 6 son exponentes de la misma base, por lo tanto, se pueden comparar directamente.

n = 6

Por lo tanto, llegamos a la misma solución.

¡Espero que esto ayude!

Answer 4

Observe que [matemáticas] 0.125 = 0.5 ^ 3 [/ matemáticas].

[matemática] \ por lo tanto 0.5 ^ n = 0.125 ^ 2 = \ izquierda (0.5 ^ 3 \ derecha) ^ 2 = 0.5 ^ 6 [/ matemática]

[matemática] \ por lo tanto n = 6 [/ matemática], entonces [matemática] n ^ {0.5} = \ sqrt {n} = \ boxed {\ sqrt {6}} [/ matemática]

Answer 5

Voy a reescribir esto con fracciones porque los decimales me molestan.

[matemáticas] (\ frac {1} {2}) ^ n = (\ frac {1} {8}) ^ 2 [/ matemáticas]

Simplificando el RHS,

[matemáticas] (\ frac {1} {2}) ^ n = \ frac {1} {64} [/ matemáticas]

Aislando los denominadores,

[matemáticas] 2 ^ n = 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {6} \ aprox 2.449 [/ matemáticas]

Mantente curioso!

Abhinav Rachakonda

Answer 6

Reescribamos esto en forma fraccionaria:

[matemáticas] 0.5 = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] 0.125 = \ frac {1} {8} [/ matemáticas].

Entonces tenemos:

[matemáticas] (\ frac {1} {2}) ^ n = (\ frac {1} {8}) ^ 2 [/ matemáticas]

Reescribamos esto en términos de poderes de [math] 2 [/ math]. Sabemos que [matemáticas] \ frac {1} {2} = 2 ^ {- 1} [/ matemáticas]. Además, [matemáticas] \ frac {1} {8} = 2 ^ {- 3} [/ matemáticas].

Entonces tenemos:

[matemáticas] (2 ^ {- 1}) ^ n = (2 ^ {- 3}) ^ 2 [/ matemáticas]

Por reglas de exponentes obtenemos:

[matemáticas] 2 ^ {- n} = 2 ^ {- 6} [/ matemáticas].

Debido a que [math] f (x) = 2 ^ x [/ math] es una función uno a uno, si dos valores son iguales, entonces sus entradas correspondientes también deben ser las mismas.

Entonces tenemos [matemáticas] n = 6 [/ matemáticas].

Ahora queremos encontrar [matemáticas] 6 ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {6} [/ matemáticas].

Answer 7

Dado: [matemáticas] 0.5 ^ n = 0.125 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.5 ^ n = (0.5 ^ 3) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.5 ^ n = 0.5 ^ 6 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] n = 6 [/ matemática] y [matemática] n ^ {0.5} = \ sqrt {6} [/ matemática]

[matemáticas] \ sqrt {6} \ aprox 2.449489742783178 \ puntos [/ matemáticas]

Me imaginé que esto era un poco más fácil que jugar con los logaritmos. ¡Espero que esto ayude!

Answer 8

n ^ 0.5 = raíz 6 porque 0.125 al cuadrado es igual a 0.5 al cuadrado al cuadrado. Eso significa que n = 6 Entonces 6 ^ 0.5 está tomando la raíz cuadrada de 6

Answer 9

Reescribe la pregunta como (1/2) ^ n = (1/8) ^ 2, por lo tanto, invierte ambos lados de la ecuación:

2 ^ n = 64, por lo tanto n = 6 porque 2 ^ 6 = 64. Por lo tanto, n ^ (0.5) = sqrt (6).

Answer 10

0.125 ^ 2 se puede escribir como 0.5 ^ 6, por lo que da n = 6 y, por lo tanto, n ^ 0.5 no es más que √6, que es alrededor de 2.32