¿Alguien podría resolver esto [matemáticas] 2 ^ {2x} = 2 ^ x + 12 [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] 2 ^ {2x} = 2 ^ {x} + 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 ^ {2x} – 2 ^ {x} – 12 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica {2 ^ {x}} ^ 2 – 2 ^ {x} – 12 = 0 [/ matemáticas]

Ahora, dejemos [matemáticas] 2 ^ x = y [/ matemáticas]

enchufándolo a la ecuación:

[matemáticas] \ implica y ^ 2 – y -12 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 -4y + 3y -12 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y (y-4) + 3 (y-4) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] y = 4, -3 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] 2 ^ x = 4 \ implica x = 2 [/ matemáticas]

Y [matemáticas] 2 ^ x = -3 [/ matemáticas]

Pero podemos ver que ningún valor real de x satisface esta ecuación … aún podemos resolver [math] x [/ math] para encontrar un valor comolex de [math] x [/ math]:

[matemáticas] 2 ^ x = -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {\ ln (2 ^ {x})} = e ^ {\ ln (-3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {x \ cdot \ ln (2)} = e ^ {\ ln (3)} \ cdot e ^ {\ ln (-1)} [/ matemáticas]

Nota: [matemáticas] e ^ {i \ theta} = cos {\ theta} + i \ cdot sin \ theta [/ math]

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = cos {\ pi} + isin \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ ln (-1) = \ ln {e ^ {i \ pi + 2 \ pi \ cdot k}} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ ln (-1) = i \ pi + 2 \ pi \ cdot k [/ matemáticas]

Ahora vamos a insertar el valor de [math] \ ln (-1) [/ math]:

[matemáticas] \ implica e ^ {x \ cdot \ ln (2)} = e ^ {\ ln (3)} \ cdot e ^ {i \ pi + 2 \ pi \ cdot k} \ quad k \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {x \ cdot \ ln (2)} = e ^ {\ ln (3) + i \ pi +2 \ pi \ cdot k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x \ cdot \ ln (2) = \ ln (3) + i \ pi + 2 \ pi \ cdot k [/ matemáticas]

dividiendo ambos lados de la ecuación por [matemáticas] \ ln (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {\ ln (3) + i \ pi +2 \ pi \ cdot k} {\ ln (2)} [/ matemáticas]

Entonces las raíces de tu ecuación

[matemáticas] x = 2, [/ matemáticas]

Y [matemáticas] x = \ frac {\ ln {(3)} + i \ pi +2 \ pi \ cdot k} {\ ln {(2)}} \ quad k \ in \ mathbb {Z} [/ math ]

Answer 2

Reescribe eso como [matemáticas] (2 ^ x) ^ 2 = 2 ^ x + 12 [/ matemáticas]

Bueno, si encontraste el valor de [math] 2 ^ x [/ math], entonces podrías resolver para x, ¡así que hazlo!

Considere [matemáticas] 2 ^ x = y [/ matemáticas]

Volviendo a la ecuación, puede escribirla como:

[matemáticas] y ^ 2 = y + 12 \ Flecha derecha y ^ 2 – y – 12 = 0 [/ matemáticas]

Al resolver y, tendrás y = 4 o y = -3, pero, como sabes, [matemáticas] 2 ^ x = y [/ matemáticas], por lo tanto:

[matemáticas] 2 ^ x = -3 [/ matemáticas] … bueno, esto no funciona, ya que no hay exponente que haga que 2 sea un número negativo.

[matemática] 2 ^ x = 4 \ Rightarrow 2 ^ x = 2 ^ 2 \ Rightarrow x = 2 [/ math]

Ese funcionó, entonces [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

Answer 3

Bueno, las respuestas anteriores fueron realmente agradables, pero supongo que este procedimiento es menos complicado en este caso.

Echar un vistazo

[matemáticas] 2 ^ {2x} -2 ^ x = 12 [/ matemáticas]

Ahora, [math] 12 [/ math] puede reescribirse como [math] 16-4 [/ math], que puede expresarse usando exponentes

[matemáticas] 4 ^ x-2 ^ x = 4 ^ 2-2 ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

¡Hecho!

Answer 4

Tenemos lo siguiente:

[matemáticas] 2 ^ {2x} = 2 ^ x + 12 [/ matemáticas]

Podemos reescribirlo usando [math] y = 2 ^ x [/ math]

[matemáticas] y ^ 2 = y + 12 [/ matemáticas]

O equivalente:

[matemáticas] y ^ 2-y-12 = 0 [/ matemáticas]

Que podemos factorizar de la siguiente manera

[matemáticas] (y-4) (y + 3) = 0 [/ matemáticas]

Hay dos casos:

[matemáticas] y = 4 \ implica 2 ^ x = 4 \ implica x = 2 [/ matemáticas]

Y el interesante

[matemáticas] y = -3 \ implica 2 ^ x = -3 [/ matemáticas]

Lo reescribiré de la siguiente manera:

[matemáticas] e ^ {\ ln (2) \ cdot x} = e ^ {i \ pi + 2 \ pi \ cdot k} e ^ {\ ln (3)} \ quad k \ in \ mathbb {Z} [ /matemáticas]

Que es lo mismo que

[matemáticas] \ ln (2) \ cdot x = i \ pi + \ ln (3) +2 \ pi \ cdot k [/ matemáticas]

Eso significa que

[matemáticas] x = \ frac {i \ pi + \ ln (3) +2 \ pi \ cdot k} {\ ln (2)} [/ matemáticas]

Entonces las soluciones son:

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac {i \ pi + \ ln (3) +2 \ pi \ cdot k} {\ ln (2)} \ quad k \ in \ mathbb { Z} [/ matemáticas]

Answer 5

x = 2

deja z = 2 ^ x y date cuenta de que 2 ^ (2x) = 2 ^ x * 2 ^ x. Hacerlo nos da:

z ^ 2 = z + 12

z ^ 2 -z -12 = 0

factorizar esto como:

(z-4) (z +3) = 0

lo que nos da z-4 = 0

z = 4

2 ^ x = 4

que da x = 2

Answer 6

Bueno, las respuestas anteriores son buenas, pero supongo que este procedimiento es menos complicado, en este caso.

Echar un vistazo,

[matemáticas] 2 ^ {2x} -2 ^ x = 12 [/ matemáticas] Ahora, [matemáticas] 12 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 16-4 [/ matemáticas] que puede expresarse usando exponentes

[matemáticas] 4 ^ x-2 ^ x = 4 ^ 2-2 ^ x [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

¡Hecho!

Answer 7

(2 ^ x) ²-2 ^ x-12 = 0

(2 ^ x-4) (2 ^ x + 3) = 0 【2 ^ x ≠ -3】

2 ^ x-4 = 0 → 2 ^ x = 2² → x = 2

Answer 8

Simplemente realice la sustitución [matemática] t = {2 ^ x} [/ matemática] y resuelva como un cuadrático en t, luego sustituya de nuevo.