Cómo demostrar que [math] \ sqrt {a \ cdot b} \ le \ frac {a + b} {2} [/ math]

Answer 1

Supongamos, por contradicción, que [matemáticas] \ sqrt {ab}> \ frac {a + b} {2}. [/ Matemáticas]

Luego, la cuadratura de ambos lados da [matemáticas] | a [/ matemáticas] [matemáticas] b | > a ^ 2/4 + b ^ 2/4 + ab / 2. [/ matemáticas]

Suponemos que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] tienen el mismo signo (de lo contrario, el lado izquierdo es imaginario).

Cancelar [math] ab [/ math] y multiplicar por 2 rendimientos

[matemáticas] 0> a ^ 2/2 + b ^ 2/2-ab = 1/2 (a ^ 2-2ab + b ^ 2) = 1/2 (ab) ^ 2. [/ matemáticas]

Pero [matemática] 1/2 (ab) ^ 2 [/ matemática] [matemática] \ geq 0 [/ matemática] para todos [matemática] a, b \ in \ mathbb {R}. [/ Matemática]

[matemáticas] \ rightarrow \ leftarrow. [/ math]

Aquí hay algo que ayuda a mi intuición sobre esta desigualdad …

Como se supone que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​positivas, se pueden expresar en términos de la función exponencial:

[matemáticas] a = e ^ {c}, b = e ^ d. [/ matemáticas]

Entonces la desigualdad se vuelve

[matemáticas] e ^ {\ frac {c + d} {2}} <\ frac {e ^ c + e ^ d} {2}. [/ matemáticas]

En otras palabras, promediar las entradas y luego evaluar da un valor menor que promediar las salidas. Si observa una gráfica de [matemáticas] y = e ^ x [/ matemáticas], está perfectamente claro por qué esto debería ser cierto:

Aquí la curva roja es la función exponencial, [matemática] c = 1 [/ matemática] y [matemática] d = 2. [/ Matemática] El punto amarillo es (0, [matemática] e ^ {\ frac {c + d} {2}}). [/ math] El punto morado es [math] (0, \ frac {e ^ c + e ^ d} {2}). [/ math] Debido a que [math] e ^ 2 [/ math] es mucho más grande que [math] e ^ {3/2} [/ math], la desigualdad se mantiene.

Esta imagen proporciona la motivación para una prueba alternativa. Para mostrar la desigualdad, es suficiente con mostrar que el punto amarillo está a menos de la mitad entre los puntos morados exteriores. En otras palabras:

[matemáticas] \ frac {e ^ de ^ {(c + d) / 2}} {e ^ {(c + d) / 2} -e ^ c}> 1. [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] d> c. [/ Matemáticas] Entonces

[matemáticas] \ frac {e ^ de ^ {(c + d) / 2}} {e ^ {(c + d) / 2} -e ^ c} = \ frac {e ^ {d / 2} (e ^ {d / 2} -e ^ {c / 2})} {e ^ {c / 2} (e ^ {d / 2} -e ^ {c / 2})} = \ frac {e ^ {d /2}}{e^{c/2}}.[/math]

Como [math] d> c [/ math], la conclusión sigue.

Un ejercicio divertido sería probar el teorema usando el teorema del valor medio.

Answer 2

* A2A

Este problema, al menos en dos variables, tiene una buena interpretación geométrica.

Esta demostración visual muestra por qué la media geométrica es siempre menor o igual que la media aritmética de dos variables y, muy bien, muestra cómo los matemáticos griegos calcularon las raíces cuadradas usando construcciones.

Pero, para responder la pregunta completamente, debemos generalizar a más variables. Hay muchas pruebas, pero me gusta esta buena prueba de la desigualdad usando el cálculo. Primero suponga que la desigualdad es verdadera.

Para las variables [math] n + 1 [/ math], la desigualdad puede expresarse como

[matemáticas] \ frac {x_1 + x_2 + \ dots + x_n + x_ {n + 1}} {n + 1} – (x_1x_2 \ dots x_nx_ {n + 1}) ^ {\ frac {1} {n + 1} } \ geq 0 [/ matemáticas]

Considere el LHS como una función de [math] x_ {n + 1} [/ math], denotándolo como [math] t [/ math]. Ahora deseamos demostrar que

[matemáticas] f (t) = \ frac {x_1 + x_2 + \ dots + x_n + t} {n + 1} – (x_1x_2 \ dots x_nt) ^ {\ frac {1} {n + 1}} \ geq 0 [ /matemáticas]

Podemos probar esta desigualdad analizando los puntos críticos de [math] f (t) [/ math]. Tomando la derivada de [math] f [/ math] produce

[matemáticas] f ^ {‘} (t) = \ frac {1} {n + 1} – \ frac {1} {n + 1} (x_1x_2 \ dots x_n) ^ {\ frac {1} {n + 1 }} t ^ {- \ frac {n} {n + 1}} [/ math]

La media aritmética se ha caído casi por completo, lo que nos facilita un poco las cosas. Ahora deseamos encontrar los puntos [math] t_0 [/ math] donde la derivada es igual a 0. Esto también puede verse como puntos donde

[matemáticas] (x_1x_2 \ puntos x_n) ^ {\ frac {1} {n + 1}} t_0 ^ {- \ frac {n} {n + 1}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] t_0 = (x_1x_2 \ puntos x_n) ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas]

¡Entonces [math] t_0 [/ math] es la media geométrica de los valores restantes! ¿No es genial?

Este punto es el único punto crítico de [matemáticas] f [/ matemáticas] y es el mínimo global porque la segunda derivada siempre es mayor que 0. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] f (t_0) [/ matemáticas]?

[matemáticas] f (t_0) = \ frac {x_1 + \ dots + x_n + (x_1 \ dots x_n) ^ {\ frac {1} {n}}} {n + 1} – (x_1 \ dots x_n) ^ {\ frac {1} {n + 1}} (x_1 \ puntos x_n) ^ {\ frac {1} {n (n + 1)}} [/ matemáticas]

se reduce muy bien a

[matemáticas] \ frac {n} {n + 1} (\ frac {x_1 + \ dots + x_n} {n} – (x_1 \ dots x_n) ^ {\ frac {1} {n}}) [/ math]

que resulta ser la diferencia entre las medias aritméticas y geométricas de nuestro conjunto con [math] x_ {n + 1} [/ math] quitado. Por lo tanto, según nuestra hipótesis, [matemática] f (t_0) \ geq 0 [/ matemática], lo que implica que todos los puntos en [matemática] f [/ matemática] son ​​mayores que 0, terminando nuestra prueba.

Ver también:

Desigualdad de medios aritméticos y geométricos – Wikipedia

Answer 3

Suponga que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​números reales no negativos tales como [matemática] a \ geqslant b> 0 [/ matemática].

Ilustración 1

Reescribe la desigualdad dada como:

[matemáticas] 2 \ sqrt {a \ cdot b} \ leqslant a + b \ tag {1} [/ matemáticas]

y al cuadrado a ambos lados de ( 1 ):

[matemáticas] 4 (a \ cdot b) \ leqslant (a + b) ^ 2 \ tag {2} [/ matemáticas]

de donde:

Ilustración 2

Biseque el ángulo en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas o construya una línea recta [matemática] y (x) = x [/ matemática] y considere el caso cuando [matemática] x \ geqslant 0 [/ matemática]:

Las áreas cuadradas de los triángulos rectángulos así formados son [math] \ dfrac {a ^ 2} {2} [/ math] para el triángulo rojo y [math] \ dfrac {b ^ 2} {2} [/ math] para el El azul. Por lo tanto:

[matemáticas] \ dfrac {a ^ 2} {2} + \ dfrac {b ^ 2} {2} \ geqslant a \ cdot b \ tag {3} [/ matemáticas]

Sustituyendo [math] \ sqrt {c} [/ math] por [math] a [/ math] y [math] \ sqrt {d} [/ math] por [math] b [/ math] obtenemos:

[matemáticas] \ dfrac {c + d} {2} \ geqslant \ sqrt {c} \ cdot \ sqrt {b} \ tag * {} [/ matemáticas]

Generalización

Observe que en lugar de una línea recta es posible usar casi cualquier curva (buen comportamiento y cooperación). Una parábola, [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas], por ejemplo:

De donde:

[matemáticas] \ dfrac {a ^ 3} {3} + \ dfrac {2b \ sqrt {b}} {3} \ geqslant a \ cdot b \ tag * {} [/ matemáticas]

para cualquier no negativo [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática].

Answer 4

Hay varias buenas pruebas de la desigualdad AM-GM . Presentaré uno usando la desigualdad de reordenamiento relativamente menos conocida, que como demostrará esta prueba, es una desigualdad importante para saber.

---

Deje que [math] a_1, \ ldots, a_n [/ math] y [math] b_1, \ ldots, b_n [/ math] sean dos secuencias de números reales positivos y deje que [math] c_1, \ ldots, c_n [/ math ] ser un reordenamiento de la secuencia [math] b_1, \ ldots, b_n [/ math]. La desigualdad de reordenamiento aborda el problema de determinar cuál de las sumas [math] n! [/ Math]

[matemáticas] S = a_1c_1 + \ cdots + a_nc_n [/ matemáticas]

da el valor máximo y cuál el mínimo .

La desigualdad de reordenamiento. Si [math] a_1 \ le a_2 \ le a_3 \ le \ ldots \ le a_n [/ math] y [math] b_1 \ le b_2 \ le b_3 \ le \ ldots \ le b_n [/ math], entonces

[matemáticas] a_1b_n + a_2b_ {n-1} + a_3b_ {n-2} + \ cdots + a_nb_1 \ le a_1c_1 + a_2 c_2 + a_3c_3 + \ cdots + a_nc_n \ le a_1b_1 + a_2 b_2 + a_3b_3 + \ cd__b /matemáticas]

para cada reordenamiento [math] c_1, \ ldots, c_n [/ math] de [math] b_1, \ ldots, b_n [/ math].

Prueba . Considere el efecto de intercambiar lugares de [math] c_r [/ math] y [math] c_s [/ math] en la suma

[matemáticas] S = a_1c_1 + \ cdots + a_rc_r + \ cdots + a_sc_s + \ cdots + a_nc_n [/ math].

Asuma [math] a_r \ le a_s [/ math] y [math] c_r \ le c_s [/ math], y considere la diferencia [math] SS ^ {\ prime} [/ math], donde

[matemáticas] S ^ {\ prime} = a_1c_1 + \ cdots + a_rc_s + \ cdots + a_sc_r + \ cdots + a_nc_n [/ math].

Hay exactamente dos términos que son diferentes en las dos sumas, y así

[matemáticas] SS ^ {\ prime} = \ big (a_rc_r + a_sc_s \ big) – \ big (a_rc_s + a_sc_r \ big) = \ big (a_s-a_r \ big) \ big (c_s-c_r \ big) \ ge 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la suma de los productos es máxima cuando ambas secuencias aumentan o disminuyen, y mínima cuando una aumenta y la otra disminuye. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

---

La desigualdad de reordenamiento implica la desigualdad AM-GM.

Deje que [math] c_1, \ ldots, c_n [/ math] sean números reales positivos , y deje que [math] c = \ sqrt [n] {c_1 \ cdots c_n} [/ math]. Aplique la desigualdad de reordenamiento a las dos secuencias [math] \ big \ {a_k \ big \} _ {k = 1} ^ n [/ math] y [math] \ big \ {a_k ^ {- 1} \ big \} _ {k = 1} ^ n [/ math], donde [math] \ big \ {a_k \ big \} _ {k = 1} ^ n [/ math] es la secuencia

[matemáticas] \ dfrac {c_1} {c}, \ dfrac {c_1c_2} {c ^ 2}, \ dfrac {c_1c_2c_3} {c ^ 3}, \ ldots, \ dfrac {c_1c_2c_3 \ cdots c_n} {c ^ n} [/matemáticas].

Las dos secuencias están ordenadas de manera opuesta, y así obtenemos

[matemáticas] a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \ cdots + a_nb_n \ le a_1b_n + a_2b_1 + a_3b_2 + \ cdots + a_nb_ {n-1} [/ math],

o

[matemáticas] n \ le \ left (\ dfrac {c_1} {c} \ cdot \ dfrac {c ^ n} {c_1c_2c_3 \ cdots c_n} \ right) + \ left (\ dfrac {c_1c_2} {c ^ 2} \ cdot \ dfrac {c} {c_1} \ right) + \ left (\ dfrac {c_1c_2c_3} {c ^ 3} \ cdot \ dfrac {c ^ 2} {c_1c_2} \ right) + \ cdots + \ left (\ dfrac {c_1c_2c_3 \ cdots c_n} {c ^ n} \ cdot \ dfrac {c ^ {n-1}} {c_1c_2c_3 \ cdots c_ {n-1}} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {c_1} {c} + \ dfrac {c_2} {c} + \ dfrac {c_3} {c} + \ cdots + \ dfrac {c_n} {c} [/ math].

Así

[matemáticas] c = \ sqrt [n] {c_1 \ cdots c_n} \ le \ dfrac {c_1 + c_2 + c_3 + \ cdots + c_n} {n}. \ blacksquare [/ math]

Answer 5

Invoque la monotonicidad de ln y defina:

[matemáticas] \ Psi (x_i, i = 1, .. n) \ equiv \ sum_ {i} ^ nln (x_i) / n-ln (\ sum_ {i = 1} ^ n {x_i}) [/ matemáticas]

Calcular derivada:

[matemática] \ partial \ Psi (x_i, i = 1, .. n) / \ partial x_k = 1 / n (x_k) – (\ sum_ {i = 1} ^ n {x_i}) ^ {- 1} = 0 [/ matemáticas]

Podemos identificar esto como un sistema de ecuaciones lineales, cuya matriz (que es semi definida) tiene un espacio nulo 1D. La solución única es que todas las [matemáticas] x_i [/ ​​matemáticas] son ​​iguales. Como este es un mínimo, el límite produce el resultado deseado. Juego terminado, ¡salud!

–

También puede cuadrar ambos lados y obtener la respuesta de inmediato, ¡pero eso es menos divertido!

Answer 6

Ya hay suficientes respuestas en este hilo. Agregando esta respuesta solo por el bien de la variedad. No solo eso, agregando esta respuesta como ingeniero de comunicación.

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Teorema (desigualdad de Jensen) Sea [math] \ phi [/ math] una función convexa y sea [math] X [/ math] una variable aleatoria tal que [math] \ mathbb {E} [X] [/ math] es finito Entonces [math] \ mathbb {E} [\ phi (X)] \ geq \ phi (\ mathbb {E} [X]). [/ Math]

Prueba: Dado que [math] \ phi [/ math] es convexo, hay una tangente a la gráfica de [math] \ phi [/ math] en [math] \ mathbb {E} [X] [/ math], lo que significa hay una función afín [matemática] L (x) [/ matemática] tal que [matemática] \ phi (x) \ geq L (x) [/ matemática] para todos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] \ phi (\ mathbb {E} [X]) = L (\ mathbb {E} [X]). [/ math] Por lo tanto [math] \ mathbb {E} [\ phi (X)] \ geq \ mathbb { E} [L (X)] = L (\ mathbb {E} [X]) = \ phi (\ mathbb {E} [X]). ~ \ blacksquare [/ math]

Teorema (desigualdad AM-GM) Si [math] x_i \ in \ mathbb {R} ^ + [/ math] para todos [math] i = \ {1,2, \ ldots, n \} [/ math] entonces

[matemáticas] \ frac {x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n} \ geq \ sqrt [n] {x_1 \ cdot x_2 \ cdots x_n} [/ math]

con la igualdad sostenida si y solo si [matemáticas] x_1 = x_2 = \ cdots = x_n. [/ matemáticas]

Prueba: considere una variable aleatoria discreta uniforme [matemática] X [/ matemática] con [matemática] \ {x_1, \ ldots, x_n \} [/ matemática] como el conjunto de soporte y la función convexa [matemática] \ phi (x) = – \ log x [/ math]. Aplicando la desigualdad de Jensen, se demuestra la desigualdad AM-GM. Como [math] \ phi [/ math] aquí es una función estrictamente convexa, la única posibilidad de que la desigualdad de Jensen sea estrecha es cuando [math] x_1 = x_2 = \ cdots = x_n. ~ \ blacksquare [/ math]

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Para obtener más pruebas interesantes visite esto!

Answer 7

Estamos demostrando la desigualdad AM – GM, que solo es cierto para los valores no negativos :

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ frac 1n \ sum_ {i = 1} ^ n a_i \ geq \ sqrt [n] {\ prod_ {i = 1} ^ n a_i}} \ tag * {} [/ math]

Primer paso: para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {align} (\ sqrt a – \ sqrt b) ^ 2 & \ geq 0 \\ a + b & \ geq 2 \ sqrt {ab} \\ \ dfrac {a + b} 2 & \ geq \ sqrt {ab} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Paso inductivo:

Supongamos que [math] k [/ math] la desigualdad es verdadera, entonces suponemos que la media aritmética de [math] k + 1 [/ math] enteros es [math] \ alpha [/ math].

Deje [math] a_k <\ alpha, a_ {k + 1}> \ alpha [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) \ alpha = a_1 + a_2 + \ cdots + a_ {k + 1} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle n \ alpha = a_1 + a_2 + \ cdots + (a_k + a_ {k + 1} – \ alpha) \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces, el nuevo conjunto de n números también tiene un valor promedio de [math] \ alpha [/ math].

Por la hipótesis,

[matemáticas] \ displaystyle \ alpha ^ {n + 1} = \ alpha ^ n \ times \ alpha \ geq a_1a_2a_3 \ cdots (a_k + a_ {k + 1} – \ alpha) \ times \ alpha \ tag * {} [ /matemáticas]

Ya que

[matemáticas] (\ alpha – a_k) (a_ {k + 1} – \ alpha)> 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] a_k \ alpha + a_ {k + 1} \ alpha – \ alpha ^ 2> a_ka_ {k + 1} \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ alpha ^ {k + 1} \ geq a_1a_2a_3 \ cdots a_ka_ {k + 1} \ tag * {} [/ matemáticas]

que prueba el paso inductivo (a través de [math] \ displaystyle \ sqrt [k + 1] {} [/ math] en ambos lados).

Aquí hay una introducción a la desigualdad AM-GM hecha por mí hace algunos años.

Answer 8

Si tanto [math] a [/ math] como [math] [/ math] b son reales no negativos, se puede demostrar lo siguiente:

el cuadrado de cualquier número real no es negativo, por lo tanto,

[matemáticas] (\ sqrt {a} – \ sqrt {b}) ² \ geq 0 [/ matemáticas]

desarrollar esto y obtener

[matemáticas] a + b – 2 \ sqrt {a \ cdot b} \ geq 0 [/ matemáticas]

de donde se deriva la desigualdad deseada.

Answer 9

Primero, cuadra ambos lados, obteniendo [math] ab \ le \ frac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {4} [/ math]. Luego, saque [math] \ frac {2ab} {4} [/ math] de la fracción y simplifique a [math] \ frac {ab} {2} [/ math] luego reste de ambos lados de la desigualdad para encuentre [matemáticas] \ frac {ab} {2} \ le \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {4} [/ matemáticas]. Luego, multiplique toda la desigualdad por 4, obteniendo [math] 2ab \ le a ^ 2 + b ^ 2 [/ math]. Mueva [math] ab [/ math] al lado derecho de la desigualdad, de modo que [math] 0 \ le a ^ 2 + b ^ 2-2ab [/ math], y factorice, haciendo [math] (ab) ^ 2 \ ge 0 [/ matemáticas]. Dado que la cuadratura de un número real siempre será mayor o igual que cero, [math] \ sqrt {ab} \ le \ frac {a + b} {2} [/ math], mientras que [math] a [/ math] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​reales.

Answer 10

Cualquier cuadrado es positivo o igual a cero, entonces

0 ≤ (ab) ^ 2

Permite cuadrar ambos lados

0 ≤ a ^ 2 – 2ab + b ^ 2

Ahora agreguemos 4ab a ambos lados

4ab ≤ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2

Ahora separemos ambos lados por 4

ab ≤ (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) / 4

ab ≤ (a / 2 + b / 2) ^ 2

Ahora saquemos la raíz

√ ab ≤ √ ((a / 2 + b / 2) ^ 2)

√ab ≤ a + b / 2

Answer 11

Esta es la famosa desigualdad media aritmética / geométrica.

Para probar dos variables, tenga en cuenta que (sqrt (a) – sqrt (b)) ^ 2> = 0 y luego expanda y reorganice.

Para n variables hay muchas soluciones disponibles en Internet y Quora. Una forma es usar el resultado n = 2 para inducir para n = 4, 8, … 2 ^ k. Luego, para un otro arbitrario n y reales reales a_1, a_2, … a_n, sea mu la media aritmética de a_i y para algunos 2 ^ k> n aplique la desigualdad a los valores de 2 ^ k formados por a_i y (2 ^ k – n) mucha mu. Simplificando esa expresión a la que puedes llegar

a_1.a_2… a_n =

Answer 12

Multiplique por 2, luego cuadrado, luego expanda para obtener 4ab <= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2. Resta 4ab y factoriza para obtener 0 <= (ab) ^ 2. En los reales, cada cuadrado no es negativo.

Answer 13

Lo siento, no puedo probarlo porque es FALSO.

Supongamos que a = -1 y b = -1.

Entonces, el lado izquierdo es Sqrt ((- 1) * (- 1)) que es 1, y el lado derecho es ((-1) + (- 1)) / 2 que es -1.

1> -1.

Answer 14

Partiremos de una desigualdad trivial:

[matemáticas] (\ sqrt {a} – \ sqrt {b}) ^ 2 \ geq0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + b-2 \ sqrt {ab} \ geq0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {a + b} {2} \ geq \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

Answer 15

Así que al cuadrado y luego

4ab ‹_a² + b² + 2ab

a² + b²-2ab> _0

(a – b) ²> _ 0

Lo cual es cierto para todos los números ya que la raíz cuadrada siempre es un avance positivo