Denotando la integral deseada por
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {\ ln \ ln \ frac {1} {x}} {(1 + x) ^ 2}, [/matemáticas]
establecer [matemáticas] u = – \ ln x [/ matemáticas], obteniendo
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} u ~ \ frac {\ ln u \, e ^ {- u}} {(1 + e ^ {- u}) ^ 2}. [/ matemáticas]
- Si sin (y / 2) = tan (y / 2), entonces ¿cómo puedo encontrar cos (y)?
- ¿Cómo resolvería el límite: [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {e ^ x} {(1 + \ frac {1} {x}) ^ {x ^ {2}}} [/matemáticas]?
- ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas de todos los tipos? ¿Hay algún atajo para encontrar factores fácilmente, si conozco tablas de hasta 20
- ¿Cuál es el MCM de 2xy, x ^ 2-xy e (yx) ^ 2?
- ¿Qué es ++ p + ++ p si p es 20?
dado que [math] 0 <e ^ {- u} \ leq1 [/ math] en el rango de integración, podemos expandir con seguridad
[matemáticas] \ displaystyle (1 + e ^ {- u}) ^ {- 2} = 1-2e ^ {- u} + 3e ^ {- 2u} -4e ^ {- 3u} +… [/ matemáticas]
y tire de la integral a través de la suma, llegando a
[matemáticas] \ displaystyle I = – \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} u ~ \ ln u \, e ^ {- u} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty } (- 1) ^ nn \, e ^ {- (n-1) u} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ nn \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} u ~ \ ln u \, e ^ {- nu} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ nn \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} u ~ \ left [\ frac {\ partial} {\ partial a} u ^ {a-1} \ right] _ {a = 1} \, e ^ {- nu} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ nn \ left [\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} u ~ u ^ {a-1} \, e ^ {- nu} \ right] _ {a = 1} [/ math]
Tenga en cuenta que la derivada de una suma es una suma de derivadas, por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle I = – \ left [\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ nn \ int_0 ^ { \ infty} \ frac {\ mathrm {d} y} {n ^ a} ~ y ^ {a-1} \, e ^ {- y} \ right] _ {a = 1}, [/ math]
donde he sustituido [math] y = nu [/ math]. Esta integral ahora representa la conocida función gamma, por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle I = – \ left [\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} \ Gamma (a) \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ {a-1}} \ right] _ {a = 1}. [/ Math]
La serie que hemos obtenido se parece mucho a la función zeta de Riemann. Divaguemos brevemente para resumir esta serie.
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ {a-1}} & = \ sum_ {n ~ \ texto {par}} \ frac {1} {n ^ {a-1}} – \ sum_ {n ~ \ text {impar}} \ frac {1} {n ^ {a-1}} \\ & = \ sum_ {n ~ \ text {even}} \ frac {1} {n ^ {a-1}} – \ left \ {\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ { a-1}} – \ sum_ {n ~ \ text {even}} \ frac {1} {n ^ {a-1}} \ right \} \\ & = 2 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2k) ^ {a-1}} – \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ {a-1}} \\ & = ( 2 ^ {2-a} -1) \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ {a-1}} \\ & = (2 ^ {2-a} -1 ) \ zeta (a-1) \ end {align *} [/ math]
Usando este resultado, tenemos
[matemáticas] \ displaystyle I = \ left [\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} (1-2 ^ {2-a}) \ zeta (a-1) \ Gamma (a) \ right] _ {a = 1} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ left [2 ^ {2-a} \ ln 2 \, \ zeta (a-1) \ Gamma (a) + (1-2 ^ {2-a}) (\ zeta ‘( a-1) \ Gamma (a) + \ zeta (a-1) \ Gamma ‘(a)) \ right] _ {a = 1} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = 2 \ ln 2 \, \ zeta (0) \ Gamma (1) – \ zeta ‘(0) \ Gamma (1) – \ zeta (0) \ Gamma’ (1) [/ math]
Podríamos dejarlo en esta etapa, pero el resultado puede simplificarse aún más utilizando los valores particulares (ver los enlaces web que figuran arriba)
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ Gamma (1) & = 1 \\\ Gamma ‘(1) & = – \ gamma \\\ zeta (0) & = – \ frac {1} {2} \\\ zeta ‘(0) & = – \ frac {1} {2} \ ln (2 \ pi) \ end {align *} [/ math]
(aquí, [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni)
llegando así a
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ int_0 ^ 1 \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {\ ln \ ln \ frac {1} {x}} {(1 + x) ^ 2} = \ frac {1} {2} \ left (\ ln \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) – \ gamma \ right)} [/ math]
Salud !