¿Cómo resolvería el límite: [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {e ^ x} {(1 + \ frac {1} {x}) ^ {x ^ {2}}} [/matemáticas]?

Answer 1

* A2A: –

[matemáticas] \ text {L} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {e ^ x} {\ left (1+ \ dfrac {1} {x} \ right) ^ {x ^ 2} }[/matemáticas]

[math] \ star [/ math] Tomando [math] \ ln [/ math] ambos lados: –

[matemáticas] \ implica \ ln \ text {L} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ left [xx ^ 2 \ ln \ left (1+ \ dfrac {1} {x} \ right) \ right ][/matemáticas]

[math] \ star [/ math] Usa la expansión en serie de [math] \ ln [/ math] para obtener: –

[matemáticas] \ implica \ ln \ text {L} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ left [xx ^ 2 \ left (\ dfrac {1} {x} – \ dfrac {1} {2x ^ 2} + \ dfrac {1} {3x ^ 3} – \ ldots \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] \ implica \ ln \ text {L} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ left [\ require {cancel} \ cancel {x} – \ require {cancel} \ cancel {x} + \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1} {3x} + \ ldots \ right] [/ math]

[matemáticas] \ implica \ ln \ text {L} = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {\ text {L} = \ sqrt {e}} [/ math]

---

EDITAR: Siddhartha Ganguly ya ha proporcionado la solución utilizando el mismo método en los comentarios de la pregunta, por lo que todos los créditos van a él.

Answer 2

A2A

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {e ^ x} {(1 + \ frac {1} {x}) ^ {x ^ {2}}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ x} {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} (1 + \ frac {1} {x}) ^ {x \ veces x}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ displaystyle {\ lim_ {x \ to \ infty}} e ^ x} {\ displaystyle {\ lim_ {x \ to \ infty}} (1 + \ frac {1} {x}) ^ {x \ veces x \ ldots \ text {(x veces)}}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ x} {\ displaystyle {\ lim_ {x \ to \ infty}} (1 + \ frac {1} {x}) ^ x \ times (1 + \ frac {1} {x}) ^ x \ ldots \ text {(x times)}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ x} {\ displaystyle {\ lim_ {x \ to \ infty}} (1 + \ frac {1} {x}) ^ x \ times \ displaystyle {\ lim_ {x \ to \ infty}} (1 + \ frac {1} {x}) ^ x \ ldots \ text {(x veces)}} [/ math]

[math] = \ dfrac {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ x} {\ displaystyle {\ lim_ {x \ to \ infty}} (e \ times e \ ldots \ text {(x veces) )}}[/matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ x} {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ x} [/ math]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Answer 3

Es bastante buena suma.

Tal vez pienses que la forma en que apliqué el límite al denominador, en realidad es una regla de que si una cantidad se convierte en indeterminada, la aplicamos, así que obtuve eso. Ahora que la ecuación no es indeterminada, entonces elevar a x se cancela y ans llega a ser Uno.