La velocidad orbital de un cuerpo pequeño es aproximadamente [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemática] de la velocidad de escape. ¿Por qué es esto? ¿Hay una razón intuitiva?

Answer 1

Con cualquier cuerpo en órbita, su energía se divide en energía cinética, [matemáticas] K = \ frac {mv ^ 2} {2} [/ matemáticas], y energía potencial gravitacional, [matemáticas] U = – \ frac {GMm} {r} [/ math], siendo la suma la energía total [math] E = m \ left (\ frac {v ^ 2} {2} – \ frac {GM} {r} \ right) [/ math]

La energía potencial es negativa debido a la convención de establecer que la energía potencial sea cero a una distancia infinita.

Cuando la energía total es positiva, el sistema se desata y el cuerpo escapa. Cuando la energía total es negativa, el cuerpo no tiene suficiente energía cinética para escapar y está atado. La velocidad de escape se encuentra al establecer la energía total en cero y resolver para [matemática] v = \ sqrt {2 \ frac {GM} {r}} [/ matemática].

La aceleración gravitacional es [matemática] a = – \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemática], y la aceleración central necesaria para un movimiento circular uniforme es [matemática] a = – \ frac {v ^ 2} {r }[/matemáticas]. Al establecer esos dos iguales, obtienes [matemáticas] \ frac {GM} {r ^ 2} = \ frac {v ^ 2} {r} [/ matemáticas], o [matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {GM} {r}} [/ math], que es [math] \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math] de la velocidad de escape.

Se simplifica cuando se observan las energías cinéticas de las dos situaciones: en el caso de la velocidad de escape, la energía cinética es [matemática] K_e = 2m \ frac {GM} {r} [/ matemática], y en el caso de órbita circular , la energía cinética es [matemática] K_c = m \ frac {GM} {r} [/ matemática], por lo que obtienes [matemática] K_e = 2K_c [/ matemática], y dado que la energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad , obtienes [math] v_e = \ sqrt {2} v_c [/ math] también.

No está intuitivamente claro por qué la energía cinética para una órbita circular debería ser la mitad de la energía cinética para escapar, pero no obstante, es un buen resultado.

Answer 2

Piense en la velocidad orbital como la velocidad de un satélite. De las ecuaciones de fuerza centrípeta, podemos derivar, v = sqrt (GM / r). Mientras que la velocidad de escape = sqrt (2GM / r). Si divide estas dos ecuaciones, obtendrá la idea de por qué la velocidad orbital es exactamente 0.707 veces la velocidad de escape.

Otra idea es que la velocidad orbital debe ser menor que la velocidad de escape o cualquier satélite o cuerpo giratorio alrededor de la Tierra se desvanecería en el espacio.

Answer 3

Hay una buena razón para ello.

Consideremos un sistema de un planeta [matemático] P [/ matemático] de masa [matemático] M [/ matemático] y un satélite [matemático] S [/ matemático] de masa [matemático] m [/ matemático] tal como [ matemáticas] m \ ll M [/ matemáticas]. Por lo tanto, podemos considerar que [matemáticas] P [/ matemáticas] no se mueve cuando [matemáticas] S [/ matemáticas] gira a su alrededor.

Consideremos primero una órbita circular de [matemática] S [/ matemática] alrededor de [matemática] P [/ matemática], a una distancia [matemática] r_0 [/ matemática] del centro de [matemática] P [/ matemática].

Consideremos [math] \ vec {e_r}, \ vec {e_ \ theta} [/ math] el sistema de coordenadas circulares del plano de rotación centrado en [math] P [/ math] como [math] \ vec { e_r} [/ math] es colineal con [math] \ vec {PS} [/ math]. Llamemos a [math] \ vec {a} [/ math] la aceleración de [math] S [/ math], [math] \ vec {v} [/ math] su velocidad, [math] \ omega [/ math ] su velocidad de rotación, [matemáticas] T [/ matemáticas] su período.

Considerando [math] S [/ math], tenemos por un lado que [math] \ vec {a} = – \ omega ^ 2r_0 \ vec {e_r} [/ math].

Por otro lado, la circunferencia del círculo de la órbita es [matemática] 2 \ pi r_0 [/ matemática], que es la distancia recorrida en [matemática] T [/ matemática] segundos, es decir, [matemática] 2 \ pi r_0 = Tv [/ matemáticas]. Como [math] \ omega = \ frac {2 \ pi} T [/ math], también tenemos [math] \ omega = \ frac {v} {r_0} [/ math].

Por lo tanto, [math] \ vec {a} = – \ frac {v ^ 2} {r_0} \ vec {e_r} [/ math].

Aplicando la segunda ley de movimientos de Newton, también tenemos:

[matemáticas] m \ vec {a} = \ sum \ vec {F} [/ matemáticas]

La única fuerza aplicada a [matemáticas] S [/ matemáticas] es la fuerza gravitacional de [matemáticas] P [/ matemáticas], que es igual a [matemáticas] \ vec {F} = -G \ frac {mM} {r_0 ^ 2} \ vec {e_r} [/ math].

Por lo tanto, [matemática] m \ frac {v ^ 2} {r_0} = G \ frac {mM} {r_0 ^ 2} [/ matemática]

Y [matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {GM} {r_0}} [/ matemáticas].

Esta velocidad aquí es la velocidad constante a la que un satélite orbitará alrededor de un planeta de masa [matemática] M [/ matemática] a una distancia [matemática] r_0 [/ matemática] desde el centro de este planeta.

Ahora, hagamos la siguiente pregunta: ¿cuál sería la velocidad de liberación de este mismo satélite a la misma distancia de nuestro planeta?

Para hacer eso, hagamos un análisis de energía mecánica de [matemáticas] S [/ matemáticas]: en el sistema, [matemáticas] S [/ matemáticas] tiene 2 tipos de energías, su propia energía cinética y la energía gravitacional debido a la planeta [matemáticas] P [/ matemáticas].

[math] \ mathscr {E} _k = \ frac12mv ^ 2 [/ math]

[math] \ mathscr {E} _g = -G \ frac {mM} {r} [/ math]

Entonces, la energía total de [math] S [/ math] es [math] \ mathscr {E} = \ frac12mv ^ 2 – G \ frac {mM} {r_0} [/ math].

Esta energía permanece constante durante la evolución de nuestro sistema, ya que las únicas fuerzas son conservadoras.

Miremos esta expresión un poco más de cerca; Podemos ver que debido al signo menos, esta energía total puede ser negativa. Si es así, significa que nunca puede dejar la influencia del planeta, ya que si queremos aumentar [math] r [/ math] en el lado derecho, eventualmente alcanzaremos un umbral cuando [math] v [/ math] alcance [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Si la energía es negativa, eso significa que [matemática] S [/ matemática] está unida a [matemática] P [/ matemática].

El límite para el cual [math] S [/ math] ya no está vinculado a [math] P [/ math] es para [math] \ mathscr {E} = 0 [/ math]; en este caso, podemos aumentar [math] r [/ math] a [math] + \ infty [/ math] con la velocidad de [math] S [/ math] convergente hacia [math] 0 [/ math]. Esta situación es el límite que nos da la velocidad de lanzamiento [math] v_r [/ math] de [math] S [/ math]:

[matemáticas] \ frac12mv_r ^ 2 – G \ frac {mM} {r_0} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] v_r ^ 2 = 2G \ frac {M} {r_0} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_r = \ sqrt {\ frac {2GM} {r_0}} [/ matemáticas]

Como podemos ver, la velocidad de liberación es exactamente [matemática] \ sqrt2 [/ matemática] multiplicada por la velocidad de la velocidad orbital.

Debido a que esto no tiene en cuenta la relatividad, estos resultados son en realidad aproximados, y la relación real es muy cercana pero no igual a [math] \ sqrt2 [/ math].