¿Cómo puedo encontrar el número de raíces reales distintas de [matemáticas] x ^ 4-4x ^ 3 + 12x ^ 2 + x-1 = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Considera la función

[matemáticas] f (x) = x ^ 4-4x ^ 3 + 12x ^ 2 + x-1 [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] f (-1) = 15> 0 [/ matemática], [matemática] f (0) = – 1 0 [/ matemática ]

Como [math] f (x) [/ math] es continuo, por lo tanto, existe al menos una raíz de [math] f [/ math] en cada uno de los intervalos [math] (- 1,0) [/ math] y [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas].

Ahora afirmamos que hay como máximo dos raíces de [matemáticas] f. [/ Matemáticas]

Si es posible, [matemáticas] f [/ matemáticas] tiene al menos tres raíces. Entonces, según el teorema de Rolle [matemáticas] f ‘[/ matemáticas] tiene al menos dos raíces reales. Como [math] f ‘[/ math] es nuevamente diferenciable, nuevamente por el teorema de Rolle [math] f “[/ math] tiene al menos una raíz real. Sin embargo, [math] f” (x) = 12x ^ 2-24x + 24 = 12 (x-1) ^ 2 + 12> 0 [/ matemática]. Por lo tanto, [math] f “[/ math] no puede tener ninguna raíz real, lo que contradice la suposición de que [math] f [/ math] tiene al menos tres raíces reales.

Combinando nuestras conclusiones, tenemos [matemáticas] f [/ matemáticas] tiene exactamente dos raíces reales.

Answer 2

Lo mejor que se puede hacer con una función como esta es encontrar la derivada y encontrar el número de puntos críticos. Para encontrar las raíces de la derivada cúbica, buscamos la derivada de segundo orden que es cuadrática. La segunda derivada cuadrática cuando se iguala a cero debe dar dos raíces reales. Y se puede encontrar el valor aproximado de esas raíces. La naturaleza de la segunda derivada cuadrática nos informará sobre la naturaleza de las raíces de la derivada de primer orden. Al analizar más la derivada, podemos encontrar si la primera derivada tiene puntos críticos reales o no. Si tiene puntos críticos reales, entonces tiene todas las raíces reales.