¿Para qué valores reales de x es [math] 2 \ sqrt [3] {2x-1} = x ^ 3 + 1 [/ math] verdadero? ¿Y cómo puedo encontrarlos sin una computadora?

Answer 1

Por supuesto, uno puede hacer cubos con ambas manos de la ecuación e intentar resolverla, pero involucra [matemáticas] x ^ 9 [/ matemáticas] (!) Y no es trivial factorizar. Por esta razón, describiría otra forma de resolver esta ecuación.

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Primero, observe que la ecuación es equivalente a [matemáticas] \ sqrt [3] {2x-1} = \ frac {1} {2} (x ^ 3 + 1) [/ matemáticas]. Observe que cuando [math] f (x) = \ frac {1} {2} (x ^ 3 + 1) [/ math] para cada número real [math] x [/ math], obtenemos

[matemáticas] \ begin {align *} 2f (x) & = x ^ 3 + 1 \\ 2f (x) -1 & = x ^ 3 \\ \ sqrt [3] {2f (x) – 1} & = X. \ end {align *} [/ math]

Por lo tanto, [math] f ^ {- 1} (x) = \ sqrt [3] {2x – 1} [/ math], donde [math] f ^ {- 1} [/ math] denota el inverso de la función [matemáticas] f [/ matemáticas].

Entonces, las soluciones a la ecuación [matemáticas] \ sqrt [3] {2x-1} = \ frac {1} {2} (x ^ 3 + 1) [/ matemáticas] también son las soluciones de [matemáticas] f ^ {-1} (x) = f (x) [/ math] (donde [math] f [/ math] es la función mencionada anteriormente).

Dado que la gráfica de [matemáticas] y = f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas] se obtiene al reflejar [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas] a la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas] ], las intersecciones de [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas] se encuentran solo en la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas] (¿por qué?)

Entonces, solo tenemos que encontrar las soluciones a la ecuación [matemáticas] x = f (x) = \ frac {1} {2} (x ^ 3 + 1) [/ matemáticas] (o [matemáticas] x = f ^ { -1} (x) [/ math], que, después del cubo, dará la misma ecuación). Eso se puede reorganizar fácilmente a [matemáticas] x ^ 3 – 2x + 1 = 0 [/ matemáticas], que se puede factorizar para dar [matemáticas] (x-1) (x ^ 2 + x – 1) = 0 [/ matemáticas], después de darse cuenta de que [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] es una solución. Finalmente, encontramos que las soluciones a [matemáticas] x ^ 2 + x – 1 = 0 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] x = \ frac {1} {2} (- 1 \ pm \ sqrt {5}) [ /matemáticas].

Por lo tanto, hay tres soluciones para la ecuación: [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {1} {2} (- 1 + \ sqrt {5}) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {1} {2} (- 1 – \ sqrt {5}) [/ math].

Answer 2

RESPONDER :

Suponiendo que [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]

[matemáticas] 2 \ sqrt [3] {2x-1} = x ^ 3 + 1 \ Longleftrightarrow x ^ 9 + 3x ^ 6 + 3x ^ 3-16x + 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Longleftrightarrow (x-1) (x ^ 2 + x-1) (x ^ 6 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x + 9) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ Longleftrightarrow x \ in \ left \ {x | x-1 = 0 \ wedge x ^ 2 + x-1 = 0 \ wedge x ^ 6 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x + 9 = 0 \ right \} [/ math]

[matemáticas] \ Longleftrightarrow x \ in \ left \ {1, \ frac {\ sqrt {5} -1} {2} = \ phi-1, \ frac {\ sqrt {5} +1} {2} = \ phi \ right \} = \ left \ {x | (x-1) (x ^ 2 + x-1) (x ^ 6 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x + 9) = 0 \ right \} \ cap \ mathbb {R} = \ left \ {x | (x-1) (x ^ 2 + x-1) = 0 \ right \}. [/ math]

Puede mostrar fácilmente que [matemáticas] x ^ 6 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x + 9 [/ matemáticas] no tiene una raíz real, ya sea calculando el discriminante o por observación (véase la respuesta de Jaundré Scheltema) .

Answer 3

La ecuación es [matemáticas] 2 \ sqrt [3] {2x \, – \, 1} \, = \, x ^ 3 \, + \, 1 [/ matemáticas]

Tomando los cubos de ambos lados, obtenemos,

[matemáticas] x ^ 9 \, + \, 3x ^ 6 \, + \, 3x ^ 3 \, – \, 16x \, + \, 9 \, = \, 0 [/ matemáticas].

El grado de esta ecuación es 9 y, por lo tanto, tiene al menos una raíz real.

También podemos ver que dado que el polinomio tiene términos con grados 3 y 9, el valor de LHS aumenta rápidamente a medida que x aumenta y disminuye rápidamente cuando x toma valores negativos de mayor magnitud.

En la inspección, podemos ver que x = 1 es una raíz.

Por lo tanto, el LHS es negativo para x ligeramente menor que 1.

Sin embargo, el polinomio también tiene un término de grado 6. Por lo tanto, a medida que x comienza a tomar valores negativos, es probable que aumente un poco inicialmente antes de caer rápidamente.

Por lo tanto, podemos esperar dos raíces más cercanas pero menores que 1.

Como no podemos resolver esta ecuación analíticamente y no queremos usar una computadora, podemos dibujar una gráfica de la ecuación para valores de x comenzando desde pequeños valores negativos hasta un valor ligeramente mayor que 1 y ver dónde interseca la abscisa.

Como no quería tomar la molestia de trazar el gráfico manualmente, utilicé Excel para trazar el gráfico y esto es lo que obtuve.

Podemos ver que esta ecuación tiene tres raíces reales, siendo una raíz 1 y las otras cercanas a 0.6 y -1.6.

Answer 4

Cubicando ambos lados y reorganizando los términos se obtiene un polinomio de noveno grado, donde una prueba estándar (la suma de los coeficientes es cero) muestra que 1 es una raíz. Al dividir por (x-1) obtienes x ^ 8 + x ^ 7 + x ^ 6 + 4x ^ 5 + 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 7x ^ 2 + 7x-9.

Aquí primero debe hacer un desvío numérico y encontrar las dos raíces reales -1.618 y 0.618. Estos están reconociblemente relacionados con el número de la sección dorada [matemáticas] \ tau [\ matemáticas], y dado que su suma es -1 y su producto es -1, puede usar las fórmulas de Viete para verlas como raíces de la ecuación x ^ 2 + x -1 = 0. Si se proporciona el polinomio anterior por este, se deja s (x) = x ^ 6 + 2x ^ 4 + 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x + 9, y el hecho de que no haya residuo demuestra que su conjetura numérica en las dos raíces reales fue correcto.

Probar que el polinomio de sexto grado no tiene raíces es nuevamente una combinación de un poco de computación numérica y simbólica. La derivada de s (x) es un polinomio de 5º grado con exactamente una raíz real en -0.287 o alrededor. En ese punto (de hecho, en todas partes en la región de -1/4 a -1/3) s (x) es positivo, y dado que el mínimo es positivo, es positivo en todas partes. ¿Cómo sabes que s ‘(x) no tiene otras raíces? Bueno, es extraño y monótono. ¿Cómo sabes que s ” (x) no tiene raíces? Si no confía en sus habilidades numéricas, repita este procedimiento hasta llegar a la cuarta derivada, 360x ^ 2 +48, ​​obviamente positiva en todas partes, y retroceda (120x ^ 3 + 48x + 12 es extraño y monótono, por lo tanto tiene una única raíz real, etc.

Answer 5

He decidido subir algunas imágenes de alta calidad de Word. Al contrario de las respuestas dadas, ¡este problema se puede resolver sin usar una computadora! Esto podría ser un poco pesado si tus habilidades matemáticas aún no están tan desarrolladas. Sin embargo, aquí está la solución: