Cómo probar: [matemáticas] \ frac {\ left (x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 \ right) ^ 2} {9} \ ge \: \ frac {\ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right) ^ 3} {27} [/ math]

Answer 1

Como otros señalaron, debe suponer que todos los números en cuestión no son negativos.

Entonces hay muchas formas de mostrarlo. Por ejemplo, puede argumentar que uno puede escalar los números para asegurar que x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 3. Denote u = x ^ 2, v = y ^ 2, w = z ^ 2.

La desigualdad se convierte

[matemáticas] u ^ {3/2} + v ^ {3/2} + w ^ {3/2} \ geq 3 [/ matemáticas]

para u + v + w = ​​3. Esto se deduce de la convexidad de [matemáticas] f (t) = t ^ {3/2} [/ matemáticas] y la desigualdad de Jensen.

Presumiblemente puede obtener algo similar con los multiplicadores de Lagrange aplicados en el lado izquierdo a la intersección de la esfera de la unidad con el octante no negativo. Uno tendría que comprobar que no pasa nada gracioso en el límite.

Probablemente también hay soluciones elementales, basadas en abrir todos los paréntesis y tratar de escribir la diferencia en términos de productos de cuadrados y variables. Pero podría ser un desastre.

Answer 2

Usted no

Elija [matemáticas] x = 0, y = 1, z = -1 [/ matemáticas]. Entonces el lado izquierdo es igual a cero, el lado derecho es igual a [matemática] 8/27 [/ matemática] que es claramente mayor que cero.

Arrestado.

Answer 3

Puede responder esto asignando algunos números a x, y y z.

x = 1 o -1

y = 2 o -2

z = 3 o -3

En ambos casos, el numerador es positivo, el denominador 9 es menor que 27. por lo tanto, el primer número es mayor que el segundo.

Answer 4

Puede ser cierto para x> 1; y> 1 y z> 1 pero para números más pequeños,

Entrada x = 0.1, y = 0.2 z = 0.3

RHS = 0.000102

LHS [matemática] = 8.71111E-05 <[/ matemática] RHS

Answer 5

Expanda, luego simplifique.