Cómo probar [matemáticas] \ sin ({x + \ delta x}) – \ sin {x} = 2 \ sin {\ frac {\ delta x} {2}} \ cos ({x + \ frac {\ delta x} {2}}) [/ matemáticas]

Considera LHS

[matemática] \ grande \ displaystyle \ sin (x + \ delta x) – \ sin x [/ matemática]

[math] \ large \ displaystyle \ star [/ math] Aplica la fórmula:

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ sin C – \ sin D = \ large \ displaystyle 2 \ sin \ left (\ frac {C – D} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {C + D} {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ large \ displaystyle = \ large \ displaystyle 2 \ sin \ left (\ frac {x + \ delta x – x} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {x + \ delta x + x } {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ large \ displaystyle = \ large \ displaystyle 2 \ sin \ left (\ frac {\ delta x} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {2x + \ delta x} {2} \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] \ large \ displaystyle = \ large \ displaystyle \ underbrace {\ boxed {2 \ sin \ left (\ frac {\ delta x} {2} \ right) \ cos \ left (x + \ frac {\ delta x } {2} \ right)}} _ {\ text {RHS}} [/ math]

[matemática] \ grande \ displaystyle \ blacksquare [/ matemática]

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Usemos la fórmula [math] sina-sinb = 2sin (\ dfrac {ab} {2}) cos (\ dfrac {a + b} {2}) [/ math].

En este caso, tenemos:

[matemáticas] sin (x + δx) -sinx = 2sin (\ dfrac {(x + δx) -x} {2}) cos (\ dfrac {(x + δx) + x} {2}) = 2sin (\ dfrac {δx} {2}) cos (x + \ dfrac {δx} {2}) [/ math]

Quod Erat Demonstrandum.