Cómo resolver esto: [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2 + 20} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) ^ 2} \ mathrm {d} x

Answer 1

* A2A: –

[matemáticas] \ text {I} = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2 + 20} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math ]

[matemáticas] \ text {I} = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ left (x ^ 2 + 20 \ right) \ cdot \ left (\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x \ right)} {\ left (x \ sen x + 5 \ cos x \ right) ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {I} = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ left (x ^ 2 \ sin ^ 2x + 20 \ cos ^ 2x \ right) + \ left (x ^ 2 \ cos ^ 2x + 20 \ sin ^ 2x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {I} = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) \ left (x \ sin x + 4 \ cos x \ right) + \ left ( 4 \ sin xx \ cos x \ right) \ left (5 \ sin xx \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) ^ 2} \ mathrm {d} x [ /matemáticas]

[matemáticas] \ text {I} = \ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {\ left (x \ sin x + 4 \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right )} \ mathrm {d} x} _ {\ text {I} _1} + \ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {\ left (4 \ sin xx \ cos x \ right) \ left (5 \ sin xx \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) ^ 2} \ mathrm {d} x} _ {\ text {I} _2} [/ math]

[matemáticas] \ text {I} = \ text {I} _1 + \ text {I} _2 [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Vamos a evaluar [matemáticas] \ text {I} _2 [/ matemáticas]: –

[matemáticas] \ text {I} _2 = \ displaystyle \ int \ underbrace {\ left (5 \ sin xx \ cos x \ right)} _ {f (x)} \ cdot \ underbrace {\ left [\ dfrac {\ left (4 \ sen xx \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) ^ 2} \ right]} _ {g (x)} \ mathrm {d} x [ /matemáticas]

[matemáticas] \ text {I} _2 = \ displaystyle \ int f (x) \ cdot g (x) \ mathrm {d} x [/ math]

[math] \ star [/ math] Aplicar la integración por método de partes a [math] \ text {I} _2 [/ math] para obtener: –

[matemáticas] \ text {I} _2 = f (x) \ displaystyle \ int g (x) \ mathrm {d} x- \ displaystyle \ int f ‘(x) \ left (\ displaystyle \ int g (x) \ mathrm {d} x \ right) \ mathrm {d} x [/ math]

[math] \ star [/ math] Integrar [math] g (x) [/ math] es fácil, solo toma [math] \ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right) = t [/ math] : –

[matemáticas] \ text {I} _2 = \ dfrac {\ left (5 \ sin xx \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right)} – ​​\ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {\ left (x \ sin x + 4 \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right)} \ mathrm {d} x} _ {\ text { I} _1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {I} _2 = \ dfrac {\ left (5 \ sin xx \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right)} – ​​\ text {I} _1 [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Poniendo [math] \ text {I} _2 [/ math] atrás tenemos: –

[matemáticas] \ text {I} = \ text {I} _1 + \ dfrac {\ left (5 \ sin xx \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right)} – \ text {I} _1 [/ math]

[matemáticas] \ boxed {\ text {I} = \ dfrac {\ left (5 \ sin xx \ cos x \ right)} {\ left (x \ sin x + 5 \ cos x \ right)} + \ text { C}} [/ matemáticas]

Answer 2

Gracias por el A2A. Elegí responder esto, ya que es bueno.

Por lo tanto, debe tener una cosa en mente, en integraciones con denominadores cuadrados, la diferenciación es un método fácil (si no el único).

En segundo lugar, debería poder ver algunos pasos adelante en su mente, como sé que para obtener x ^ 2 necesitaremos xcosx en el numerador

Diferencie xcosx / xsinx +5 cosx y obtendrá

-x ^ 2 + 5sin ^ 2 x en numerador y denominador obviamente cuadrado.

Luego probé sinx y cosx como numerador. Con sinx obtuve lo que quería 5-sin ^ 2x en numerador. Entonces, si lo multiplico por 5 y agrego al anterior, obtenemos -x ^ 2 -20 … y listo.

• Entonces su respuesta es -xcosx-5sinx / xsinx + 5cosx más alguna constante arbitraria.
• He tratado de mostrar mi proceso de pensamiento, espero que esto ayude … no solo como una solución sino también como un ejemplo de algoritmo de pensamiento.

Answer 3