¿Cómo demuestro [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas], y cuáles son las leyes similares?

Answer 1

Desde el punto de vista del arte de la resolución de problemas, el método que funciona para esta suma y otras sumas similares (ver más abajo) se conoce, bajo varias formas, como perturbación , reordenamiento o transformación .

La idea de tal método es reorganizar la posición y / o la estructura de cada término de tal manera que la mayoría de los términos desaparezcan y la suma se vuelva trivial o los términos formen una suma calculada previamente (en cuyo caso la reducción juega un rol) o ambos (ver ( 9 )).

En este caso particular, podemos hacer que la mayoría de los términos desaparezcan:

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {i = 0} ^ nx ^ i = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ ldots + x ^ n \ tag {1} [/ matemáticas]

Modifique la estructura de cada término multiplicando ambos lados de ( 1 ) por [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle xS = x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + \ ldots + x ^ {n + 1} \ tag {2} [/ matemáticas]

Resta ( 1 ) de ( 2 ) verticalmente:

[matemáticas] – \, \ left \ {\ begin {array} {lclllllllll} xS & = & x & + & x ^ 2 & + & x ^ 3 & + & \ ldots & + & x ^ {n + 1} \\ \\ S & = & 1 & + & x & + & x ^ 2 & + & \ ldots & + & x ^ n \ end {array} \ right. [/ Math]

Observe que en el lado derecho de ambas ecuaciones anteriores, en diagonal, desde la parte superior izquierda a la inferior derecha, los términos son idénticos ([matemática] x [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática], [matemática] x ^ 2 [/ math] y [math] x ^ 2 [/ math], etc.) y, por lo tanto, desaparecerán durante la resta. Los únicos términos que sobrevivirán son:

[matemáticas] (x – 1) S = x ^ {n + 1} – 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Desde donde (con las restricciones dadas en las otras respuestas) inmediatamente:

[matemáticas] S = \ dfrac {x ^ {n + 1} – 1} {x – 1} \ tag {3} [/ matemáticas]

“Leyes similares”

No confíe en mi palabra: realice los movimientos usted mismo para convencerse de que el método que acaba de demostrar funciona

para poderes extraños:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nx ^ {2i – 1} = x \ frac {x ^ {2n} – 1} {x ^ 2 – 1} \ tag {4} [/ matemáticas]

y para poderes pares:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nx ^ {2i} = x ^ 2 \ frac {x ^ {2n} – 1} {x ^ 2 – 1} \ tag {5} [/ matemáticas]

y para potencias consecutivas inversas:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ dfrac {1} {x ^ i} = \ frac {x ^ n – 1} {x ^ n (x – 1)} \ tag {6} [ /matemáticas]

y para potencias inversas impares:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {x ^ {2i – 1}} = \ frac {x ^ {2n} – 1} {x ^ {2n – 1} (x ^ 2 – 1)} \ tag {7} [/ math]

y para potencias pares inversas:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {x ^ {2i}} = \ frac {x ^ {2n} – 1} {x ^ {2n} (x ^ 2 – 1 )} \ tag {8} [/ math]

e incluso por esta suma peluda:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {i} {x ^ i} = \ frac {x ^ {n + 1} – x (n + 1) + n} {x ^ n ( x – 1) ^ 2} \ tag {9} [/ matemáticas]

Pero espera, hay más

Tome ( 6 ), requiera que [math] x [/ math] sea un número real fijo tal que [math] x = a> 1 [/ math], factorice:

[matemáticas] \ dfrac {a ^ n – 1} {a ^ n (a – 1)} = \ dfrac {1 – \ dfrac {1} {a ^ n}} {a – 1} \ tag {10} [ /matemáticas]

y aplique el límite [matemática] n \ a + \ infty [/ matemática] a ( 10 ) para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {a ^ i} = \ frac {1} {a – 1} \ tag {11} [/matemáticas]

Los límites de las sumas restantes pueden investigarse de manera similar.

Answer 2

Ya he respondido una pregunta similar, pero aquí tienes.

Por la definición de [matemáticas] ∑ [/ matemáticas] ( Sigma , Suma ), [matemáticas] ∑_ {k = 0} {x ^ k} = 1 + x ^ 1 + x ^ 2 +… + x ^ n [ /matemáticas].

Entonces, es básicamente [matemáticas] 1 + x ^ 1 + x ^ 2 +… + x ^ n [/ matemáticas].

Como puede ver, [matemáticas] 1 + x ^ 1 + x ^ 2 +… + x ^ n [/ matemáticas] es la suma de los miembros de la progresión geométrica .

La suma de la progresión geométrica, por su parte, se calcula mediante la fórmula

[math] S = \ dfrac {b_nq-b_1} {q-1} [/ math] donde [math] b_1 [/ math] es el primer miembro de la progresión, [math] b_n [/ math] es el último miembro de la progresión, y [matemáticas] q [/ matemáticas] es el factor común.

Obtenemos:

[matemáticas] S = \ dfrac {x ^ nx-1} {x-1} = \ dfrac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas].

Necesitamos encontrar [math] S ^ p [/ math] que es igual a [math] \ dfrac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} [/ math].

Quod Erat Demonstrandum.

Answer 3

Es difícil encontrar técnicas generales para probar tales teoremas.

Puedo ayudarte con 1 teorema genérico: inducción matemática , pero solo funcionará si sabes la respuesta.

Por ejemplo, aquí sabes

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas]

Hay 3 pasos para ello:

1.Probar un caso base:

• Puedo decir con seguridad que el teorema es verdadero para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas]. Es decir,
• [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas]
• o, [matemáticas] x ^ 0 = \ frac {x -1} {x-1} [/ matemáticas]
• o, [matemáticas] 1 = 1 [/ matemáticas], ¡lo cual es cierto!

2.Paso inductivo:

• Suponiendo que el resultado es verdadero para [matemáticas] n = p [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ px ^ k = \ frac {x ^ {p + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas]

3.Probarlo para [matemáticas] n = p + 1 [/ matemáticas]

• Tendremos que demostrar:
• [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {p + 1} x ^ k = \ frac {x ^ {p + 1 + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas]
• o, [matemáticas] x ^ {p + 1} + \ sum_ {k = 0} ^ {p} x ^ k = \ frac {x ^ {p + 1 + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas]
• Usando el supuesto del paso (2), podemos sustituir el valor de [math] \ sum_ {k = 0} ^ {p} x ^ k [/ math]
• o, [matemáticas] x ^ {p + 1} + \ frac {x ^ {p + 1} -1} {x-1} = \ frac {x ^ {p + 1 + 1} -1} {x- 1} [/ matemáticas]
• o, [matemáticas] \ frac {x ^ {p + 2} -x ^ {p + 1} + x ^ {p + 1} – 1} {x-1} = \ frac {x ^ {p + 1 + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas]
• o, [matemáticas] \ frac {x ^ {p + 2} – 1} {x-1} = \ frac {x ^ {p + 1 + 1} -1} {x-1} [/ matemáticas]
• cual es verdad !

Puede usar esta técnica para probar muchos teoremas para establecer enunciados para el conjunto de todos los números naturales.

Answer 4

Hay muchas pruebas de este teorema. Una de las fáciles es la siguiente. Excluiremos [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 1 [/ matemática] de los casos que consideremos, ya que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no está definida y [matemática] 1- 1 = 0 [/ math], entonces, obviamente, la fórmula que queremos probar no funcionará en ese caso.

Primero, una definición.

[matemática] \ forall x \ in \ mathbb C \ setminus \ {0,1 \}, \ forall n \ in \ mathbb N, S_n (x) = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] xS_n (x) = x \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ {k + 1} = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} x ^ k [/ matemáticas]

Así

[matemáticas] \ begin {align} xS_n (x) – S_n (x) & = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} x ^ k – \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k \\ & = x ^ {n + 1} + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nx ^ kx ^ 0 – \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nx ^ k \\ & = x ^ {n +1} -1 \ end {align} [/ math]

Finalmente

[matemáticas] xS_n (x) -S_n (x) = x ^ {n + 1} – 1 \ Leftrightarrow (x-1) S_n (x) = x ^ {n + 1} – 1 \ Leftrightarrow S_n (x) = \ frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1} [/ math]

Otro ejemplo de tal prueba de la suma de una serie es para la progresión aritmética. Una vez más, una definición

[matemática] \ forall x \ in \ mathbb C, \ forall n \ in \ mathbb N, A_n (x) = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n xk [/ math]

Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx (nk) = x \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n (nk) = x \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nk = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n xk = A_n (x) [/ math]

Entonces podemos escribir eso

[matemáticas] \ begin {align} 2A_n (x) & = A_n (x) + A_n (x) \\ & = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n xk + \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx (nk) = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n xk + x (nk) \\ & = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx (k + nk) \\ & = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n xn \\ & = (n + 1) xn \ end {align} [/ math]

Y obviamente

[matemáticas] 2A_n (x) = xn (n + 1) \ Leftrightarrow \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n xk = x \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemática]

Answer 5

Muestra que [matemáticas] (x-1) \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = x ^ {n + 1} – 1 [/ matemáticas], luego divida ambos lados entre [matemáticas] x-1 [/ matemáticas]. Esto es bastante fácil de hacer si juegas un poco con él. También puedes hacerlo por inducción si quieres algo un poco más formulado.

Answer 6

Multiplica ambos lados por [matemáticas] (x-1) [/ matemáticas]

Luego, continúe y cancele los términos correspondientes en el lado izquierdo, que aparecen con signos opuestos: para cada término [matemática] x ^ {k + 1} [/ matemática] tiene un [matemático] -x ^ {k + 1} . [/ math] Los únicos términos que no se cancelan son el más alto y el más bajo: [math] x ^ {n + 1} [/ math] y 1.