Si las raíces de la ecuación x ^ 3 + Px ^ 2 + qx-1 = 0 forman un GP creciente, entonces ¿cuál es el rango de py q?

Answer 1

Deje que una raíz sea [matemáticas] a [/ matemáticas].

Naturalmente, las otras raíces se convierten en [matemáticas] a * r [/ matemáticas] y [matemáticas] a * r ^ 2 [/ matemáticas], donde [matemáticas] r [/ matemáticas] es la relación común de la progresión geométrica.

Por lo tanto, desde la teoría de las ecuaciones,

[matemáticas] a + ar + ar ^ 2 = -p [/ matemáticas] (suma de raíces)

[matemáticas] a * ar * ar ^ 2 = (-1) ^ 3 * (-1) [/ matemáticas] (producto de raíces)

Además, como es un GP en aumento, [math] r> 1 [/ math] se convierte automáticamente en una condición adicional.

Entonces, [matemáticas] a (1 + r + r ^ 2) = -p ………. (A) [/ matemáticas]

[matemáticas] Y, (ar) ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] Entonces, ar = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, a = 1 / r ……… .. (b) [/ matemáticas]

Usando (b) en (a),

[matemáticas] 1 / r + 1 + r = -p [/ matemáticas]

[matemáticas] o, r ^ 2 + 1+ r = -pr [/ matemáticas]

[matemáticas] o, r ^ 2 + r (1 + p) + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] r = (- (1 + p) + sqrt ((1 + p) ^ 2 -4)) / 2 [/ matemáticas]

Sabemos, [matemáticas] r> 1 [/ matemáticas]

Sustituyendo r y resolviendo la desigualdad obtenida, tenemos,

[matemáticas] (1 + p) ^ 2 – 4> 2 + p + 1, [/ matemáticas]

[matemáticas] o, p ^ 2 + p – 6 = 0, [/ matemáticas] que da el rango de p como:

[matemáticas] p ∈ (-∞, -3) ∪ (2, ∞) [/ matemáticas]

Nuevamente, la suma de las raíces que toman 2 a la vez es:

[matemáticas] a * ar + ar * ar ^ 2 + a * ar ^ 2 = q [/ matemáticas]

[matemáticas] o, a ^ 2 * r + a ^ 2 * r ^ 3 + a ^ 2 * r ^ 2 = q [/ matemáticas]

Usando [matemática] a = 1 / r, [/ matemática]

[matemáticas] 1 / r + r + 1 = q [/ matemáticas]

[matemáticas] o, r ^ 2 + r (1-q) + 1 = 0 [/ matemáticas]

que da [matemáticas], [/ matemáticas] [matemáticas] r = ((q-1) + sqrt ((q-1) ^ 2 – 4)) / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] r> 1 [/ matemáticas] da,

[matemáticas] (q-1) ^ 2 – 4> 2 + 1 + q [/ matemáticas]

[matemáticas] o, q ^ 2 – 3q – 6> 0 [/ matemáticas]

lo que da:

[matemáticas] q ∈ (-∞, —1.37) ∪ (4.372, ∞) [/ matemáticas]

Cabe señalar que la condición para un GP creciente es r> 1 y no | r | > 1, dado que la última condición permite valores negativos de r, eso puede hacer que algunos términos pares sean negativos y, en consecuencia, menos que el término anterior, y en ese caso, no tenemos un GP creciente.

Answer 2

dejemos que las raíces sean a, a * r y a * r ^ 2, donde | r | > 1.

Tenemos ,

1. a + a * r + a * r ^ 2 = -P
2. a * a * r + a * a * r ^ 2 + a * r * a * r ^ 2 = Q
3. (a) * (a * r) * (a * r ^ 2) = 1

lo que significa a * r = 1 (de 3. tomando solo la raíz real)

Poniendo esto en (2) obtenemos: a * 1 + 1 ^ 2 + r * 1 ^ 2 = Q

o, Q = a + r + 1 (4)

o, Q = 1 / r + r + 1

si r> 0, tenemos Q> = 2 + 1 [porque 2 <= x + 1 / x o x + 1 / x <= -2

o, Q> = 3

si r <0, tenemos Q <= -2 + 1

o Q <= -1

Al poner a * r = 1 en (1) obtenemos: a + 1 + 1 * r = -P

o, P = – (a + r + 1) = -Q (5)

entonces, P => 1 o P <= -3